20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)411導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1(完整版)
【正文】 x)0(或 f′(x)0)是不夠的 ， 即還有可能 f′(x)＝ 0也能使得 f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào) ， 因而已知函數(shù) f(x)在某區(qū)間 A上單調(diào)求參數(shù)的值或取值范圍時(shí) ， 一般轉(zhuǎn)化為在區(qū)間 A上 f ′(x)≥0(f(x)單調(diào)遞增時(shí) )或 f ′(x)≤0(f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時(shí) )恒成立求解 ， 有時(shí)也用數(shù)形結(jié)合方法求解 ． 2 ． y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)可導(dǎo)， f ′ ( x ) ≥ 0 或 f ′ ( x ) ≤ 0 且 y ＝ f ( x )在 ( a ， b ) 內(nèi)導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)僅有有限個(gè)，則 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)，例如： y ＝ x3在 R 上 f ′ ( x ) ≥ 0 ，所以 y ＝ x3在 R 上單調(diào)遞增 ． 3 ． 本題用到了一個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化，即 m ≥ f ( x ) 恒成 立 ? m ≥ f ( x )m ax， m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x )m in. 已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ 3x2－ x＋ 1在 (－ ∞， ＋ ∞)上是減函數(shù) ，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ________． [答案 ] a≤－ 3 [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 6 x － 1 ， 由題意得 3 ax2＋ 6 x － 1 ≤ 0 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上恒成立 ． 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， 6 x － 1 ≤ 0 ， x ≤16不滿足題意， ∴ a ≠ 0. 當(dāng) a ≠ 0 時(shí)，由題意得????? a 0Δ ＝ 36 ＋ 12 a ≤ 0， ∴ a ≤ － 3. 綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a ≤ － 3. 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 —— 構(gòu)造法證明不等式 已知 x＞ 1， 求證： x＞ lnx. [ 解析 ] 設(shè) f ( x ) ＝ x － ln x ( x ＞ 1) ， f ′ ( x ) ＝ 1 －1x＝x － 1x， ∵ x ＞ 1 ， ∴ f ′ ( x ) ＝x － 1x＞ 0 恒成立， ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù) ． 又 f ( 1 ) ＝ 1 － l n 1 ＝ 1 ＞ 0 ， 即 f ( x ) ＞ 0 對(duì) x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 恒成立， ∴ x － ln x ＞ 0 ，即 x ＞ ln x
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