20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計算(完整版)
【正文】 ( 1 ) 平面 π1與 π2相交于直線 l , 點 R 為直線 l 上任意一點 , 過點 R , 在平面 π1上作直線 l1⊥ l , 在平面 π2上作直線 l2⊥ l , 則 l1∩ l2=R. 我們把直線 l1和 l2的夾角叫作平面 π1與 π2的夾角 . ( 2 ) 若平面 π1和 π2的法向量分別為 n1和 n2, 則當 0 ≤ n1, n2 ≤??2時 , 平面 π1與 π2的夾 角等于?? n1, n2?? 。 當??2 n1, n2 ≤ π 時 , 平面 π1與 π2的夾角等于 π n1, n2 . 1 2 3 思考 2 如何利用向量求平面間的夾角 ? 提示 :先求出兩個平面的法向量 ,再利用向量夾角公式求角 ,則該角或它的補角就等于平面間的夾角 .一般用坐標運算進行 ,求解后要結(jié)合題意來判斷求出的角是夾角的補角還是夾角 . 1 2 3 3 . 直線與平面的夾角 ( 1 ) 平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的 投影 的夾角叫作該直線與此平面的夾角 . 如下圖中的角 θ . ( 2 ) 如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi) , 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 0 . ( 3 ) 如果一條直線與一個平面垂直 , 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是π2. 1 2 3 思考 3 如何利用向量知識求直線與平面的夾角 ? 提示 :取直線的方向向量和平面的法向量 ,用向量的夾角公式求出這個角 ,若該角為銳角或直角 ,則它的余角就是直線與平面的夾角 。 ?? ?? . ∵ AB ⊥ BC , BB1⊥ AB , BB1⊥ BC , ∴ ?? ?? ?? ?? | ?? ??1 | ?? ??1 = 0 . ∵ AB ∩ AA1=A , ∴ MC1⊥ 平面 AB1. ∴∠ C1AM 是 AC1與側(cè)面 AB1的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ?? ?? = 0 ,??2, 2 a , ∴ ?? ??1 DF = 0得 3 y + z = 0 ,?? + 3 y = 0 .令 y = 1 , 得 ?? = 3 ,?? = 1 ,?? = 3 .∴ m = ( 3 , 1 , 3 ) . 同理可求得平面 ABD 的一個法向量 n = ( 0 , 1 , 0 ), ∴ co s ?? m , n ?? =?? F D1 | E C1 || F D1 |=6 4 + 4 14 24= 2114. 故異面直線 EC1與 FD1夾角的余弦值為 2114. 答案 : A 1 2 3 4 2 . 在三棱柱 AB C A1B1C1中 , 各棱長相等 , 側(cè)棱垂直于底面 , 點 D 是側(cè)面BB1C1C 的中心 , 則 AD 與平面 BB1C1C 夾角的大小是 ( ) A .??6 B.??4 C.??3 D.??2 解析 :如圖 ,取 BC 的中點 E ,連接 DE , AE , AD ,依題意知三棱柱為正三棱柱 ,易得 AE ⊥ 平面 BB1C1C ,故 ∠ ADE 為AD 與平面 BB1C1C 的夾角 .設(shè)各棱長為 1 ,則AE = 32, DE =12,所以 ta n ∠ ADE =AEDE= 3212= 3 ,所以∠ ADE =??3,故選 C . 答案 : C 1 2 3 4 3 . 在底面是直角梯形的四棱錐 S AB C D 中 , ∠ AB C = 9 0 176。 AB = 0 , ∴ ( ?? , ?? , ?? ) , ?? 39。 = 0 ,?? 39。.令 y39。) ( 2 , 1 , 0 ) = 0 , 1 2 3 4 ∴ ?? = 2 x ,?? = 0 .令 x= 1 ,則 m = ( 1 , 2 , 0 ) . 設(shè)平面 PBC 的法向量為 n = ( x39。 ?? ?? = 0 , n BC = 0 ,??1 ?? ?? = 0 ,且 n 2 ??2 = 12. ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3. ∴ 異面直線 BA
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