【正文】 一維 （ 也稱一元或單變量 ） 函數(shù) 一維優(yōu)化方法 概述Telan展開(kāi)式為即又是 凸函數(shù)的判別條件（ 1） (a)得到 則點(diǎn) 的領(lǐng)域內(nèi)，若對(duì)一切 二次型函數(shù)的一些性質(zhì)： ，則 A稱為對(duì)稱矩陣， 如果已找到 ， 使（ 122） 多元函數(shù)的泰勒公式及 Hessian矩陣 軸夾角成 的向量就是該點(diǎn)的梯度。尋優(yōu)要使路程最短。梯度三元函數(shù)的函數(shù)情況：若 S方向與各坐標(biāo)軸方向間夾角分別為 可見(jiàn)， 方向?qū)?shù)是函數(shù)在某點(diǎn)沿給定方向的變化率， 可看成偏導(dǎo)數(shù)的推廣。在點(diǎn) 于是函數(shù)的增量為點(diǎn) 到 的距離 則 偏導(dǎo)數(shù)是沿平行于坐標(biāo)軸的多個(gè)特殊方向的變化率。167。和 如有一個(gè)等式約束，則原則上可以消去一個(gè)設(shè)計(jì)變量。？解 顯然，木板的耗費(fèi)量與貨箱的表面積成正比，如果貨箱不帶上蓋，則目標(biāo)函數(shù)為約束條件為 、寬 ） 下，選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量 圖 優(yōu)化方法的巧妙和威力就是用有限次搜索找出最好點(diǎn)，這種點(diǎn)稱最優(yōu)點(diǎn)或最優(yōu)解，用 如前所述，目標(biāo)函數(shù)取決于設(shè)計(jì)變量，而在很多實(shí)際問(wèn)題中設(shè)計(jì)變量的取值范圍是有限制的或必需滿足一些條件。 約束條件和可行域2 決定這個(gè)空間的三個(gè)坐標(biāo)軸分別描述三個(gè)設(shè)計(jì)變量。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中由各設(shè)計(jì)變量的坐標(biāo)軸所描述的這種空間 就是所謂的 “ 設(shè)計(jì)空間 ” ，它是一個(gè)重要概念。最優(yōu)化設(shè)計(jì)是研究怎樣合理地優(yōu)選這些設(shè)計(jì)變量值的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。167。在一個(gè)典型的工廠中，優(yōu)化可用于管理、過(guò)程設(shè)計(jì)和裝置規(guī)范、車間操作等。即必須從精確和實(shí)用兩個(gè)觀點(diǎn)來(lái)考慮問(wèn)題，這是因?yàn)楣S的操作參數(shù)和周圍的環(huán)境并非一成不變。近年來(lái)，為了普及和推廣應(yīng)用優(yōu)化技術(shù)，已經(jīng)將各種優(yōu)化計(jì)算程序組成使用十分方便的程序包，并已發(fā)展到建立最優(yōu)化技術(shù)的專家系統(tǒng)， 這種系統(tǒng)能幫助使用者自動(dòng)選擇算法，自動(dòng)運(yùn)算以及評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果，用戶只需很少的優(yōu)化數(shù)學(xué)理論和程序知識(shí)，就可有效地解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題。由于產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量要求日益提高和設(shè)計(jì)周期要求日益縮短，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)已越來(lái)越顯得不能適應(yīng)工業(yè)發(fā)展的需要。在紡織廠以及許多其它工業(yè)工程的設(shè)計(jì)、建設(shè)、操作和分析中所涉及的大部分問(wèn)題均可使用優(yōu)化方法進(jìn)行求解。優(yōu)化方法就是各類決策方法中普遍采用的一種方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用的發(fā)展歷史，經(jīng)歷了由懷疑、提高認(rèn)識(shí)到實(shí)踐收效，從而引起廣大工程界日益重視的過(guò)程。 在紡織工藝過(guò)程設(shè)計(jì)和工廠操作中的典型問(wèn)題有很多（也許是無(wú)限多）求解方法。 由于在過(guò)程模型中所用的數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)表達(dá)式存在一些不確定性，因此對(duì)于優(yōu)化的應(yīng)用是否有風(fēng)險(xiǎn)，仍存在著爭(zhēng)論。因此，具有確切值的參數(shù)并不是尋找優(yōu)化條件的關(guān)鍵。優(yōu)化可以應(yīng)用在一個(gè)公司的任意層次上，其應(yīng)用范圍包括復(fù)雜的組合車間、某個(gè)車間內(nèi)分布的設(shè)備、單個(gè)裝置及某個(gè)裝置中的子系統(tǒng)、甚至更小的個(gè)體。當(dāng)建立問(wèn)題存在難度，或者沒(méi)有現(xiàn)成的技術(shù)可以得到全部問(wèn)題的合理解時(shí)，子優(yōu)化通常是很有用的。圖 11二維設(shè)計(jì)問(wèn)題 ，則其全部設(shè)計(jì)變量可用維向量的形式表示成（ 13） 一般，含有 2～ 10個(gè)設(shè)計(jì)變量的為小型設(shè)計(jì)問(wèn)題； 10～ 50個(gè)為中大型設(shè)計(jì)問(wèn)題； 50個(gè)以上的為大型設(shè)計(jì)問(wèn)題。在一般的紡織最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。 ；兩部分的分界線 （ 或面 ）即 在可行域中，任一點(diǎn)都是可行點(diǎn)。維空間中的可行域 即設(shè)計(jì)變量由三個(gè)減為兩個(gè)，事實(shí)上，當(dāng) 求在 點(diǎn)沿 S方向的方向?qū)?shù)，向量 S的方 向?yàn)? 解 由于 故 可見(jiàn)，如果 取不同的值而 點(diǎn)不變， 則方向?qū)?shù)的值不同。 梯度的模 在點(diǎn) 和點(diǎn) 的梯度。 的等值線， 寫成向量矩陣形式（ 118）可簡(jiǎn)寫為（ 119）式中， 表示。 二次型函數(shù)及正定矩陣判別若式中 為常系數(shù)，則稱為二次型函數(shù)或 實(shí)二次型 。當(dāng) 為極大；當(dāng) 不定， 試求極值點(diǎn)，并判斷性質(zhì)。（ 123） 凸函數(shù)的表達(dá)式為 （ 124）2凸集 (125) 則函數(shù) 就是定義在凸集 上的一個(gè)凸函數(shù)。上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，而 的 Hessian矩陣 （二階導(dǎo)矩陣 ） 為半正定。即此二次型應(yīng)為半正定，即 Hessian矩陣為半正定。 利用 Hessian矩陣判別，只要證明其 Hessian矩陣是非負(fù)定即可。該 Hessian矩陣的各階主子式的值為 注意： 對(duì)于高階多元目標(biāo)函數(shù)，很難判斷是否為凸函數(shù)。 方向進(jìn)行搜索的最優(yōu)步長(zhǎng)。內(nèi)，放棄 在 和步長(zhǎng) h，算出和 圖 112的單峰區(qū)間為 圖 113，則本次區(qū)間縮短率為 （ 127）（ 128） 為了使最終區(qū)間收斂到給定收斂精度 （ 1） 區(qū)間絕對(duì)精度 解 以外的部分。到 這一段，在留下的部分內(nèi)繼續(xù)找出 對(duì)分法1中心對(duì)分法是利用目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來(lái)判別最優(yōu)點(diǎn)的存在區(qū)間，利用目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，取中心對(duì)分點(diǎn) 求 直至 一階可微，且每計(jì)算一次 兩點(diǎn)對(duì)分法圖 117其中 令 ％以內(nèi)，即 因?yàn)? ，淘汰 ，留下新區(qū)間 ，此時(shí)， 已接近要求精度。解法三計(jì)算了 6次目標(biāo)函數(shù)，取最后區(qū)間的中點(diǎn)作為近似極大點(diǎn)，與精確解比較，尚有較大誤差。 多項(xiàng)式在插值點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)與目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值相等，滿足： 的近似解是達(dá)不到預(yù)期精度的，需要通過(guò)幾次逼近計(jì)算來(lái)縮小區(qū)間，使構(gòu)造的 ， x3不變； 時(shí)，即： 167。 和一維問(wèn)題一樣，若多元函數(shù) F(X)不可微，亦無(wú)法求解。方法概述坐標(biāo)輪換法的基本構(gòu)思是將一個(gè) n維優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為依次沿 n個(gè)坐標(biāo)方向反復(fù)進(jìn)行一維搜索問(wèn)題。為沿 e2方向作為一維搜索的新起點(diǎn)，按步驟 （ 2） 進(jìn)行，得點(diǎn) 10） 的目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)。4根據(jù)構(gòu)造共軛方向的原理不同，可以形成不同的共軛方向法。（ 也與橢圓相切 ） ，設(shè) 并在以后的實(shí)踐中進(jìn)行了改進(jìn)。、 或?qū)τ谒?i=1,2,…, n滿足 和 收斂準(zhǔn)則為 （ 2） 迭代過(guò)程1） 任選初始點(diǎn) ，給定收斂精度 。否則，令 （ 3） 梯度法動(dòng)態(tài)迭代圖，見(jiàn)圖 121。計(jì)算迭代點(diǎn) 的梯度和方向原函數(shù)梯度為：為梯度的負(fù)方向?yàn)?） 這種方法僅僅比最速下降法增大了很少的計(jì)算量，但卻顯示出較大的改進(jìn)。 ，求最優(yōu)步長(zhǎng)因子 ，則得（ 139） 由此式可見(jiàn)，它不含矩陣 A，只要求出相應(yīng)點(diǎn)得梯度，便可求得與 要使求出的 與 和輸入維數(shù) 共軛梯度法算法盒圖，見(jiàn)圖 123。阻尼牛頓法（ 1） 方法概述 4） 不僅要計(jì)算梯度，還要求海賽矩陣及其逆矩陣，計(jì)算量和存儲(chǔ)量大。梯度法的最大優(yōu)點(diǎn)是初始點(diǎn)可任選，且開(kāi)始幾次迭代，目標(biāo)函數(shù)值下降很快，其主要缺點(diǎn)是迭代點(diǎn)接近極小點(diǎn)時(shí)，對(duì)二次正定函數(shù)收斂也非常慢。這種算法僅用到梯度，不必計(jì)算海賽陣及其逆矩陣，但又能使搜索方向逐漸逼近牛頓方向，具有較快的收斂速度。和最優(yōu)步長(zhǎng)因子4） 進(jìn)行一維搜索，求下一個(gè)迭代點(diǎn)6） 檢查迭代次數(shù)，若 ，則 ，轉(zhuǎn)向步驟 2)，若 則進(jìn)行下一步；7） 構(gòu)造新的探索方向?yàn)榇藨?yīng)計(jì)算 、 、然后令 轉(zhuǎn)步驟 3)。利用現(xiàn)代軟件，可以建立并解決帶有數(shù)千個(gè)變量和約束條件的線性問(wèn)題。例如 , 對(duì)于約束條件 如果原來(lái)問(wèn)題中的某些變量并不要求非負(fù)，則可將其變換為兩個(gè)非負(fù)變量之差。 、 10個(gè)工時(shí)、 5kw電能，可獲利 120元。在約束方程中，若令 nm個(gè)變量為 0， 就可求得另外m個(gè)不全為 0的解。約束方程變換為如下的正則方程 解的轉(zhuǎn)換 但是這樣的變換并不能保證變換后的常數(shù)向量為非負(fù)。 規(guī)則 (選擇轉(zhuǎn)軸行 )進(jìn)入基本變量，來(lái)替換另一個(gè)現(xiàn)在還在基本變量中的 這個(gè)過(guò)程是反復(fù)進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，直到 從 0變成某個(gè)正值為止。)是 0， 其余皆為正。就應(yīng)從基本變量中排除出去。規(guī)則。成為可行解中的基本變量，所選的轉(zhuǎn)軸行 取代 這時(shí)需引入人工變量，經(jīng)過(guò)變換再將它從基本變量中替換出去，具體作法舉例說(shuō)明如下。將問(wèn)題變換為標(biāo)準(zhǔn)形式： 由于 因此，只要 規(guī)則可以實(shí)現(xiàn)從一個(gè)基本可行解到另一個(gè)基本可行解的變換。其中的 所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為（ 158）令 計(jì)算時(shí)，也可以直接把目標(biāo)函數(shù)和約束條件同時(shí)列為轉(zhuǎn)軸運(yùn)算方程組。（ 160）式中 為相對(duì)價(jià)值系數(shù)。（ 157）將上式對(duì)應(yīng)的基本可行解變換，得到另一組基本可行解，它的基本變量中包含有 對(duì)于由前 m個(gè)變量為基本變量組成的基本可行解， 對(duì)于極小值問(wèn)題它應(yīng)取正值 (對(duì)于極大值問(wèn)題取負(fù)值 )。、 對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題引入松弛變量 如果不等式約束條件右端項(xiàng) 為引入的人工變量?；蜣D(zhuǎn)軸元素 要滿足條件（ 153） 所以，由可知，只有保證 才能使 進(jìn)入可行解的基本變量，將 置換出去。如果式 （ 152） 是可行解，且 , 因此，第一個(gè)要求是，若 的對(duì)應(yīng)元素 （ 2） 在式 (148)的增廣矩陣中，將某一非基本變量 m個(gè)變量為非基本變量。則 , 對(duì)應(yīng)的基本解為這樣，求解線性規(guī)劃問(wèn)題需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：① 其中 m個(gè)不全為 0的變量稱為基本變量，其余 nm個(gè)為 0的變量稱為非基本變量。 設(shè)每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 、 件 , 則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下 引入松弛變量 例 111線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式為（ 145）其矩陣形式為 線性規(guī)劃 —— 單純形法 線性規(guī)劃是應(yīng)用最廣的優(yōu)化技術(shù)之一，也可以說(shuō)是一種最有效的優(yōu)化技術(shù)。即為極小點(diǎn)，停止迭代。（ 2） 迭代過(guò)程1） 任選初始點(diǎn) ，計(jì)算收斂精度 ，維數(shù) n；人們自然會(huì)想到，能否吸取這 兩種方法之長(zhǎng)，努力克服它們 其基本思想是在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)用一個(gè)二次函數(shù) 去近似替代原目標(biāo)函數(shù) ，然后求二次函數(shù)的極小點(diǎn)作為下一個(gè)迭代點(diǎn) ，通過(guò)不斷構(gòu)造二次函數(shù)和迭代計(jì)算，使迭代點(diǎn)逼近函數(shù)的極小點(diǎn) 。用共軛梯度法求函數(shù) ？是：則令 由于相鄰兩次迭代的負(fù)梯度方向與線性無(wú)關(guān)且正交，即 是一正交系， 共軛系數(shù)的求法：將 （ 1－ 40） 代入式 （ 1－ 39） 得 只與相鄰兩迭代點(diǎn)的梯度有關(guān)?？梢岳卯?dāng)前梯度和原搜索梯度的線性組合來(lái)計(jì)算新的搜索方向。迭代計(jì)算梯度模5） 121以 為起點(diǎn)，沿 方向作一維搜索求最優(yōu)步長(zhǎng) ，使于是得下一個(gè)迭代點(diǎn)對(duì)迭代點(diǎn) ， k=0,1,2,…， 求 的梯度： 計(jì)算梯度的模 確定負(fù)梯度的單位向量（ 8） 令 +1，計(jì)算新一輪的初始點(diǎn)和方向組為 表示該兩點(diǎn)的連線所指方向。及與之對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn) 使 沿 與 出發(fā)，沿 S1方向作一維