【正文】 設(shè)計(jì)方案，另一種設(shè)計(jì)方案點(diǎn) (通常，設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)要比 3多得多，并且很難用圖象表示，這時(shí)的維空間又稱為超越空間。 個(gè)設(shè)計(jì)變量，把第 在圖 12中，當(dāng)設(shè)計(jì)變量，分別取不同值時(shí)，則可得到在坐標(biāo)平面上不同的相應(yīng)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)表示一種設(shè)計(jì)方案。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為 n維設(shè)計(jì)問(wèn)題，只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖 12所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖 13所表示的空間直角坐標(biāo)表示。在紡織加工中，常用的獨(dú)立參數(shù)有工藝參數(shù)、設(shè)備與零部件的規(guī)格、原材料的力學(xué)和物理特性、產(chǎn)品的規(guī)格性能等等。 紡織最優(yōu)化設(shè)計(jì)概念 紡織的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是在一定的加工條件下，在對(duì)加工工藝、加工設(shè)備以及產(chǎn)品的性態(tài)或其它因素的限制 （ 約束 ） 范圍內(nèi)，選取某些設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，建立目標(biāo)函數(shù)并使其獲得最優(yōu)值的一種新的設(shè)計(jì)方法。 由于輕紡工廠的復(fù)雜性，要對(duì)一個(gè)指定的工廠進(jìn)行徹底的優(yōu)化，工作量是很大的。在某些情況下會(huì)在確定優(yōu)化的同時(shí)加入某些統(tǒng)計(jì)的特征去分析產(chǎn)量預(yù)測(cè)的不確定程度，這可能是一種可行的分析方法。在工廠操作中，一部分效益來(lái)自于工廠操作性能的提高，例如增加高價(jià)值產(chǎn)品的產(chǎn)量 （ 或減少污染物的產(chǎn)量 ） 、降低能耗、提高過(guò)程的效率、延長(zhǎng)開(kāi)工時(shí)間。雖然如此，但最優(yōu)化的理論和計(jì)算方法至今還未十分完善，有許多問(wèn)題仍有待進(jìn)一步研究探索。設(shè)計(jì)師為了掌握優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，需要在優(yōu)化理論、建模和計(jì)算機(jī)應(yīng)用等方面進(jìn)行知識(shí)更新。167。方法對(duì)頭，事半功倍，反之則事倍功半。用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來(lái)改造傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法已成為競(jìng)相研究和推廣并可帶來(lái)重大變革的發(fā)展戰(zhàn)略，優(yōu)化設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)領(lǐng)域中開(kāi)拓了新的途徑。系統(tǒng)地識(shí)別一個(gè)過(guò)程或生產(chǎn)線的目標(biāo)、約束和自由度是非常有益的，它可以產(chǎn)生如下效益，如改進(jìn)設(shè)計(jì)的質(zhì)量、更快更確切地發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題以及更快地做出決定。通常，過(guò)程變量的優(yōu)化值是不隨給定的參數(shù)而變化的 （ 敏感性較差 ） 。由于以下原因，子優(yōu)化通常是很必要的，這些原因有的是考慮了經(jīng)濟(jì)性和實(shí)用性，有的則是由于時(shí)間或人員的限制，以及急于得到答案的難度等。相對(duì)于常規(guī)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是一次革新。圖 12 圖 14 由點(diǎn) 設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征了設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多、設(shè)計(jì)愈靈活，但難度愈大、求解亦愈復(fù)雜。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。 等式約束 表示等式約束數(shù)應(yīng)少于設(shè)計(jì)變量數(shù)，等式約束對(duì)設(shè) 計(jì)變量的約束很?chē)?yán)，起著降低設(shè)計(jì)自由度的作用。；另一部分不滿足約束條件即 約束線 其數(shù)學(xué)表達(dá)式 （ 數(shù)學(xué)模型 ） 為：求設(shè)計(jì)變量在滿足約束條件的條件下，使目標(biāo)函數(shù) 例 11為了使耗費(fèi)的木板最少并減少質(zhì)量，問(wèn)應(yīng)如何選取貨箱的長(zhǎng) 和高 設(shè)目標(biāo)函數(shù) 求函數(shù) 如圖 18所示，同心圓方案是函數(shù) 設(shè)目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)附近的泰勒公式，若只取到二次項(xiàng)時(shí)為0（ 117） 因此在求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解時(shí)，常把某一給定點(diǎn)函數(shù)近似地用二次函數(shù)代替，使分析問(wèn)題簡(jiǎn)化。二次型是指含有 n個(gè)變量 的二次齊次多項(xiàng)式寫(xiě)成矩陣形式令 則上式記為 （ 1） 非零向量 X，若 多元函數(shù)的極值有：或 ，則點(diǎn)為極小點(diǎn)。例 14 如有函數(shù) 1設(shè)一元函數(shù) 函數(shù)的凸性概念上面的曲線均有： 在 0～ 1范圍。(a)兩點(diǎn)恒有內(nèi)部的一個(gè)凸集，則 為 為嚴(yán)格的凸函數(shù)。尋求其極值點(diǎn) 這種尋找最優(yōu)點(diǎn)的反復(fù)過(guò)程稱為數(shù)值迭代方法。迭代過(guò)程的每一步格式，一般可以寫(xiě)成如下形式： 式中 單峰函數(shù)三種單峰函數(shù)（ 3） 當(dāng) 說(shuō)明 若 ）為了縮小區(qū)間，在 可能有三種情況，如圖 113所示。對(duì)稱的點(diǎn) 根據(jù)上式，黃金分割法的取點(diǎn)規(guī)則是 對(duì)于直接法，有以下幾種收斂準(zhǔn)則： 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 作為第四試驗(yàn)點(diǎn)。還好，并且比較滿意，則可確定香料的添加量為 ％是最優(yōu)添加量。2已知極小點(diǎn)區(qū)間 [a， b]，在其中點(diǎn)左右取 2個(gè)對(duì)稱點(diǎn) x1和 x2（ 見(jiàn)圖 117） ，且有 淘汰區(qū)間，留下區(qū)間 [a， b]＝ [， ]，收斂精度要求在初始區(qū)間的 10解法二 用中心對(duì)分法。 第三次計(jì)算點(diǎn)為： 解法二計(jì)算了 2次導(dǎo)數(shù)，求得了精確解。 ，二次插值多項(xiàng)式為 為新區(qū)間，令 ， x x3不變。 （ 4） 對(duì)于多維無(wú)約束問(wèn)題來(lái)說(shuō)，古典極值理論中令一階導(dǎo)數(shù)為零，但要求二階可微，且要判斷 Hessian矩陣為正定才能求得極小點(diǎn)，這種方法有理論意義，但無(wú)實(shí)用價(jià)值。 坐標(biāo)輪換法1時(shí)，迭代終止。（ 1） 計(jì)算量少，程序簡(jiǎn)單，但計(jì)算效率較低，特別在維數(shù)很高時(shí)很費(fèi)機(jī)時(shí)，故僅適用于 n較少 （ n（ 2） 改變初始點(diǎn)重新迭代，可避免出現(xiàn)病態(tài)。解 第一輪輪迭代1） 沿 在無(wú)約束方法中許多算法都是以共軛方向作為搜索方向，它具有許多特點(diǎn)。可見(jiàn)， S1和 S2本來(lái)不相交，而 若 A＝ E，則有 仍沿 S1方向作一維搜索，得最優(yōu)點(diǎn) 搜索方向1964年，鮑威爾提出這種算法，其基本思想是用迭代點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軛方向，然后從任一初始點(diǎn)開(kāi)始，逐次沿共軛方向作一維搜索求極小點(diǎn)。3否則轉(zhuǎn)入步驟 （ 7） 。將 n維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列沿負(fù)梯度方向用一維搜索方法尋優(yōu)的問(wèn)題，利用負(fù)梯度作為搜索方向，故稱最速下降法或梯度法。4） 當(dāng)?shù)c(diǎn)滿足收斂準(zhǔn)則時(shí)，迭代結(jié)束。 給定初始點(diǎn) ，允差 置2） 點(diǎn)的 如果 是二階的，并且在每一個(gè)搜索方向上被準(zhǔn)確的最小化，那么它具有最多在次迭代中收斂的理想特性，這是因?yàn)樗乃阉鞣较蚬曹棥?兩點(diǎn)處函數(shù)的梯度分別為：兩式相減為（ 138） 為簡(jiǎn)便，令 所以 為使下一次搜索方向 對(duì) A共軛，需有代入 即共軛方向 迭代終止，否則轉(zhuǎn) 4)4） 判別 令轉(zhuǎn) 2)（ 4） 特點(diǎn)： 快！只求兩點(diǎn)就找到 阻尼牛頓法和 DFP變尺度法1DFP變尺度法（ 1） 方法概述DFP法是基于牛頓法的思想又作了重要改進(jìn)。5） 檢驗(yàn)是否滿足，若滿足 一個(gè)解決方案不僅要滿足所有的約束條件，而且必須完成目標(biāo)函數(shù)的極值要求，例如利潤(rùn)最大或成本最小。當(dāng)時(shí)，約束方程有無(wú)窮多組解，線性規(guī)劃就是要從這無(wú)窮多組解中尋找一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)極小化的最優(yōu)解。對(duì)于其他形式的不等式約束，可以通過(guò)引入松弛變量的方法將其轉(zhuǎn)化為等式約束。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料 4kg、 將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式該問(wèn)題的解如圖 124所示。2基本解及其轉(zhuǎn)換 若經(jīng) m次主元變換后，將增廣矩陣的前 m列變?yōu)槿缦聠挝蛔泳仃? （ 148） 為轉(zhuǎn)軸元素的轉(zhuǎn)軸變換或消元變換。2） 對(duì)應(yīng)的任意一個(gè)系數(shù)作為轉(zhuǎn)軸變換的轉(zhuǎn)軸元素，進(jìn)行另一次消元變換，又可得到一個(gè)新的增廣矩陣和相應(yīng)的基本解。這種變換實(shí)際上是一種非基本變量和基本變量的轉(zhuǎn)換，也是從一組基本解向另一組基本解的轉(zhuǎn)換。要使變換后所得的基本解為可行解，還要研究這樣的方法，即如何使某個(gè)選定的變量 才可選做轉(zhuǎn)軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，用 中必然有一個(gè) (假定它是 是負(fù)值，它所對(duì)應(yīng)的松弛變量就不能作為基本可行解的基本變量，所以上述方法并不是總能成功的。、 由此引起一個(gè)問(wèn)題，就是要保證最后能把 一個(gè)很大的系數(shù) 后，目標(biāo)函數(shù)中將增加一項(xiàng)給 只要 r仍是負(fù)值，則目標(biāo)函數(shù) 也可能有幾組 根據(jù)式 （ 162） 的正負(fù)性判斷是否取得最優(yōu)解的方法稱為最速變化規(guī)則。在求解極小點(diǎn)過(guò)程中，先利用約束條件方程組解出可行解，再用最速變化規(guī)則對(duì)其檢驗(yàn)，從中找出最優(yōu)解。 （ 155）目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)成（ 156）對(duì)此輔助規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行消元變換，當(dāng)輔助目標(biāo)函數(shù)值等于 0時(shí)，所得輔助線性規(guī)劃問(wèn)題的前 n個(gè)變量的值便構(gòu)成了線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)初始基本可行解。一個(gè)很大的系數(shù) 而只要 F(X)還沒(méi)有達(dá)到極值，運(yùn)算過(guò)程還可以繼續(xù)進(jìn) 從最優(yōu)解中排除出去。不能進(jìn)入基本可行解的基本變量中。在例 111中， 同時(shí)，由于 非負(fù)，對(duì) 又有 的要求。代替 則必需叫 基本可行解的轉(zhuǎn)換 ——若變換后的常數(shù)項(xiàng)均為非負(fù)，即 （ 150）由圖可以看出，線性規(guī)劃的約束邊界為一組直線或平面，由這些直線和平面構(gòu)成的可行域是一個(gè)封閉的凸多邊形或凸多面體。 在系數(shù)矩陣中，任取 m列可以構(gòu)成一個(gè)基本解，可知一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的基本解的個(gè)數(shù)等于排列組合數(shù)圖 12 式中， AX=B—— 約束方程； （ 146）目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是線性函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃或線性優(yōu)化問(wèn)題。否則轉(zhuǎn)下一步；則 的缺點(diǎn)，來(lái)建立更好的算法。6） 計(jì)算迭代點(diǎn)： ， 令 k=k+1，返回步驟 2)使5） 確定牛頓方向， 并求其逆矩陣 否則轉(zhuǎn)入下一步。 及其模 的梯度方向： 的最小值。令 梯度的模。、 分別為點(diǎn) 、 式中： 故有 或 （ 142）式 （ 1－ 41） 可簡(jiǎn)化為（ 143）即 （ 141）兩者的線性組合，即（ 140）式中： （ 2） 的梯度確定共軛方向，使得計(jì)算簡(jiǎn)便而效果又好。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是在每步計(jì)算中僅僅需要存儲(chǔ)少量信息，所以能被應(yīng)用到大型問(wèn)題上。判別不滿足精度要求，以 梯度法動(dòng)態(tài)迭代圖例 19 返回步驟 （ 2）。并返回步驟 （ 2） 。 （ 4） 計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值 則迭代結(jié)束。得到點(diǎn)列 、 … 、 （ 2） 共軛方向與函數(shù)極小點(diǎn)的關(guān)系 設(shè)有一般二維二次正定函數(shù) 則稱 n個(gè) n維矢量 與 S1正交， （ 1） 定義 119當(dāng)初始步長(zhǎng)縮減到足夠小，滿足 （ 4） 以 。若試探成功，沿此方向一維搜索；否則，沿坐標(biāo)的負(fù)方向試探。故坐標(biāo)輪換法也常稱單變量法或變量交錯(cuò)法。2 數(shù)學(xué)上表達(dá)為 、 為新區(qū)間，令 ，以 （ 136）式中 隨著區(qū)間的逐次縮小，多項(xiàng)式的最優(yōu)點(diǎn)與原函數(shù)最優(yōu)點(diǎn)之間的距離逐漸縮小，直到滿足一定精度要求時(shí)終止迭代。2 f已知 L0=，取 δ＝ ，計(jì)算 x1和 x2 可用于有目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)和無(wú)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化試驗(yàn)中。 中心對(duì)分法求解圖由目標(biāo)函數(shù)的正負(fù)，淘汰區(qū)間的一半，如圖 116所示。如果在上述試驗(yàn)中 第四、第五試驗(yàn)點(diǎn)確定的示意圖的對(duì)稱點(diǎn) 上述試驗(yàn)點(diǎn)的過(guò)程如圖 114所示。 比較 第二試驗(yàn)點(diǎn)為 （ 1） 不必要求 （ 2）區(qū)間相對(duì)精度 ； （ 3） 函數(shù)值絕對(duì)精度 內(nèi)，區(qū)間的縮短次數(shù) N必需滿足 產(chǎn)生新的單峰區(qū)間 [x， b]。，與 計(jì)算 在新的區(qū)間內(nèi)，保留一個(gè)好點(diǎn) 對(duì)于后面要介紹的二次插值法中要利用 3個(gè)點(diǎn)的信息，其他方法只要利用 2個(gè)端點(diǎn)信息。則將步長(zhǎng)再加大一倍，有（ 圖 112(a) ） 若 將步長(zhǎng)增加一倍，取 若 必位于 ，數(shù)值迭代法又分為直接法 (黃金分割法和對(duì)分法 )搜索方法是數(shù)學(xué)迭代解法，它把搜索范圍不斷縮小向最優(yōu)點(diǎn)逼近，當(dāng)滿足收斂準(zhǔn)則后，即可求得最優(yōu)解。對(duì)