三角函數(shù)的最值(完整版)
【正文】 2m20 恒成立 . 即 f(t)=t22mt+2m+1=(tm)2m2+2m+10 對(duì) t?[0, 1] 恒成立 . 故可討論如下 : (1)若 m0, 則 f(0)0. 即 2m+10. 解得 m , 1 2 (2)若 0≤ m≤ 1, 則 f(m)0. 即 m2+2m+10. 亦即 m22m10. 解得 : 1 2m1+ 2 , ∴ 0≤ m≤ 1。 4 ? y 無最大值 . 解 : 由已知 y0, 只需考察 y2 的最值 . = . 27 16 ∵ y2=4cos2 cos2 sin2 2 x 2 x 2 x ≤ 2( )3 2sin2 +cos2 +cos2 3 2 x 2 x 2 x 僅當(dāng) 2sin2 =cos2 , 即 tan = (∵ 0x?) 時(shí)取等號(hào) . 2 x 2 x 2 x 2 2 y 無最小值 . ∴ 當(dāng) x=2arctan 時(shí) , y2 取最大值 . 2 2 27 16 4 3 9 ∴ 當(dāng) x=2arctan 時(shí) , y 取最大值 。一、高考要求 、值域、單調(diào)性和它們的圖象等 , 求三角函數(shù)的最大值和最小值 . 最小值 . 解決 . 最值問題是三角中考試頻率最高的重點(diǎn)內(nèi)容之一 , 需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角三函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等 , 也是函數(shù)內(nèi)容的交匯點(diǎn) , 常見方法有 : 、余弦函數(shù)以及 asin?+bcos?, 可考慮利用三角函數(shù) 的有界性 . 二、重點(diǎn)解析 三、知識(shí)要點(diǎn) y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函數(shù)可通過適當(dāng)變換、配方求解 . sinx+cosx, sinxcosx 在關(guān)系式中時(shí) , 可考慮換元法處理 . 常見的三角換元 x2+y2=1, 可設(shè) x=cos?, y=sin?。 2 2 2 x y=(1+cosx)sin (0x?) 的最值 . f(x)=cos4x2cosxsinxsin4x. (1)求 f(x) 的最小正周期 。 ∴ m0。 (2)當(dāng) M(a)=2時(shí) , 求 a 的值 . 4 a 1 2 2 ? 解 : (1)f(x)=sin2x+asinx + . 4 a 1 2 令 t=sinx, 則 0≤ t≤ 1, 故有 : f(x)=g(t)=t2+at + =(t )2+ + (0≤ t≤ 1). 4 a 1 2 2 a 4 a2 4 a 1 2 要求 f(x) 的最大值 M(a), 可分情況討論如下 : g(t) 在 [0, 1] 上先增后減 . g(t) 在 [0, 1] 上為減函數(shù) . ① 當(dāng) 0, 即 a0 時(shí) , 2 a ∴ M(a)=g(0)= 。 2 a 4 a2 4 a 1 2 g(t) 在 [0, 1] 上為增函數(shù) . ∴ M(a)=g(1)= a . 1 2 3 4 , a0, 1 2 4 a ∴ M(a)= + , 0≤ a≤ 2, 4 a2 4 a 1 2 a , a2. 1 2 3 4 若 + =2, 即 a2a6=0, 4 a2 4 a 1 2 (2)由 (1)知 , 若 =2, 則 a=6。 當(dāng) 0≤ sin?1 時(shí) , m 恒成立 . 1+sin2? 2(1sin?) 令 t=1sin?, 則 t?(0, 1], 且 2t 1+(1t)2 1 t 2 t m =1( + ) 恒成立 . 易證 g(t)
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