對(duì)角化矩陣的應(yīng)用本科畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 定理 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,則有,對(duì)應(yīng)于,記由生成的一個(gè)空間,且由生成的空間.2對(duì)角化矩陣的應(yīng)用例2 設(shè)在數(shù)域上，有一個(gè)二維的線性空間,是這個(gè)線性空間的一組基,那么線性變換在這組基的作用下的矩陣,試通過(guò)上述給出的條件計(jì)算出矩陣.解 通過(guò)分析上述的條件，我們應(yīng)該先計(jì)算線性變換在線性空間的另一組基作用下的矩陣,令,則,易知,再運(yùn)用上面得出的幾個(gè)關(guān)系,即.例3 設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，且它的階數(shù)為階，已知,對(duì)應(yīng)于,求解．解 根據(jù)矩陣是階實(shí)對(duì)稱矩陣的條件,我們可以推出矩陣可以對(duì)角化的結(jié)論,即得出矩陣是由三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量組成的結(jié)論,并且對(duì)應(yīng)于,因?yàn)樗驼?即,所以可以求出,則,于是.例4 請(qǐng)判斷下述三個(gè)矩陣是否會(huì)相似.解 我們可以很容易的得出三個(gè)矩陣的特征值分別都是(二重),其中矩陣已經(jīng)是對(duì)角陣,可以推出,因?yàn)?是一個(gè)二重的特征值,但是卻只有一個(gè)特征向量與之所對(duì)應(yīng),得出,通過(guò)，,得出,通過(guò)上述所推出的結(jié)論，我們可知矩陣有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即矩陣與矩陣這兩個(gè)矩陣相似.例 設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，并且它的階數(shù)為階，滿足,求出的全部特征值． 解 假設(shè)為矩陣的一個(gè)特征值,而我們令為矩陣的特征向量,它對(duì)應(yīng)于特征值，因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,即,由此我們可以推出,根據(jù)矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣的這個(gè)條件,我們可以斷定矩陣一定能夠進(jìn)行對(duì)角化,即,與,所以的秩數(shù)就是的個(gè)數(shù),以及有個(gè)和個(gè)的特征值.例在維的空間中,有一個(gè)復(fù)矩陣，并且它的階數(shù)為階，還有一個(gè)復(fù)數(shù),令,則矩陣相似于對(duì)角陣,并且.證明 因?yàn)閷?duì)于任意一個(gè),則有和,所以我們可以推出與兩個(gè)的解空間是完全相同的，即． 例 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)全體,且它是一個(gè)次數(shù)小于的多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式，則請(qǐng)通過(guò)所學(xué)的進(jìn)一步判斷在的任一組基下，矩陣通過(guò)微分變換能否變?yōu)閷?duì)角形矩陣．證明 如果取,那么矩陣可以表示為,所以有. 如果在某一組基的作用下，微分變換的矩陣為對(duì)角矩陣,由已知的矩陣可推出矩陣可對(duì)角化,那么就會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣能夠使得,所以. 通過(guò)已知的微分變換的全為零,可以推出,這是不可能的,所以在的任何一組基的作用下，微分變換的矩陣都不可能成為對(duì)角陣．例 設(shè)兩個(gè)數(shù)列都滿足條件,則請(qǐng)求解.解 把已知條件中的幾個(gè)遞推關(guān)系組,通過(guò)化簡(jiǎn)改寫成下面的列矩陣的形式：,由和,可以求出的,則,從而,因此,并且.例9 已知這四個(gè)條件,請(qǐng)證明存在并且相等,給出證明過(guò)程，同時(shí)請(qǐng)求出這兩個(gè)的極限值.證明 把已知條件中的遞推關(guān)系組作進(jìn)一步簡(jiǎn)化推出,然后再改寫為另一種矩陣的形式：,由和,可以求出的,并且分別對(duì)應(yīng),取,則,因?yàn)?所以,即.例10 設(shè)有,這三個(gè)條件,請(qǐng)求出.解 從已知的三個(gè)條件可以推出,以及,令,則,所以,由和,求得的,令,則,從而推出：,即,.例11 設(shè),求.解 令,根據(jù)條件,將其簡(jiǎn)化為,然后再寫成矩陣,由和,求出的,且分別對(duì)應(yīng)的是,取,則,即. 例 設(shè)有一個(gè)階的行列式，化簡(jiǎn)并求出它的值.,解 按照第一列展開的,可以寫成矩陣的另外一種形式,記矩陣,則,通過(guò),我們可以計(jì)算出矩陣的,且分別對(duì)應(yīng),取,則,推出,即.例13 設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,并且它的階數(shù)是階，滿足條件,且為矩陣的秩,通過(guò)上述條件求出行列式的值.解 因?yàn)?所以,.因?yàn)榫仃囀且粋€(gè)階的實(shí)對(duì)稱矩陣,所以它相似于對(duì)角矩陣,又因?yàn)榫仃嚨闹葹?所以一定會(huì)存
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