對角化矩陣的應(yīng)用本科畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 定理 設(shè)是實對稱矩陣,則有,對應(yīng)于,記由生成的一個空間,且由生成的空間.2對角化矩陣的應(yīng)用例2 設(shè)在數(shù)域上，有一個二維的線性空間,是這個線性空間的一組基,那么線性變換在這組基的作用下的矩陣,試通過上述給出的條件計算出矩陣.解 通過分析上述的條件，我們應(yīng)該先計算線性變換在線性空間的另一組基作用下的矩陣,令,則,易知,再運用上面得出的幾個關(guān)系,即.例3 設(shè)有一個實對稱矩陣，且它的階數(shù)為階，已知,對應(yīng)于,求解．解 根據(jù)矩陣是階實對稱矩陣的條件,我們可以推出矩陣可以對角化的結(jié)論,即得出矩陣是由三個線性無關(guān)的特征向量組成的結(jié)論,并且對應(yīng)于,因為它和正交,即,所以可以求出,則,于是.例4 請判斷下述三個矩陣是否會相似.解 我們可以很容易的得出三個矩陣的特征值分別都是(二重),其中矩陣已經(jīng)是對角陣,可以推出,因為,是一個二重的特征值,但是卻只有一個特征向量與之所對應(yīng),得出,通過，,得出,通過上述所推出的結(jié)論，我們可知矩陣有三個線性無關(guān)的特征向量,即矩陣與矩陣這兩個矩陣相似.例 設(shè)有一個實對稱矩陣，并且它的階數(shù)為階，滿足,求出的全部特征值． 解 假設(shè)為矩陣的一個特征值,而我們令為矩陣的特征向量,它對應(yīng)于特征值，因為,所以,又因為,所以,即,由此我們可以推出,根據(jù)矩陣是實對稱矩陣的這個條件,我們可以斷定矩陣一定能夠進行對角化,即,與,所以的秩數(shù)就是的個數(shù),以及有個和個的特征值.例在維的空間中,有一個復(fù)矩陣，并且它的階數(shù)為階，還有一個復(fù)數(shù),令,則矩陣相似于對角陣,并且.證明 因為對于任意一個,則有和,所以我們可以推出與兩個的解空間是完全相同的，即． 例 設(shè)是數(shù)域上的一個全體,且它是一個次數(shù)小于的多項式與零多項式，則請通過所學(xué)的進一步判斷在的任一組基下，矩陣通過微分變換能否變?yōu)閷切尉仃嚕C明 如果取,那么矩陣可以表示為,所以有. 如果在某一組基的作用下，微分變換的矩陣為對角矩陣,由已知的矩陣可推出矩陣可對角化,那么就會存在一個可逆矩陣能夠使得,所以. 通過已知的微分變換的全為零,可以推出,這是不可能的,所以在的任何一組基的作用下，微分變換的矩陣都不可能成為對角陣．例 設(shè)兩個數(shù)列都滿足條件,則請求解.解 把已知條件中的幾個遞推關(guān)系組,通過化簡改寫成下面的列矩陣的形式：,由和,可以求出的,則,從而,因此,并且.例9 已知這四個條件,請證明存在并且相等,給出證明過程，同時請求出這兩個的極限值.證明 把已知條件中的遞推關(guān)系組作進一步簡化推出,然后再改寫為另一種矩陣的形式：,由和,可以求出的,并且分別對應(yīng),取,則,因為,所以,即.例10 設(shè)有,這三個條件,請求出.解 從已知的三個條件可以推出,以及,令,則,所以,由和,求得的,令,則,從而推出：,即,.例11 設(shè),求.解 令,根據(jù)條件,將其簡化為,然后再寫成矩陣,由和,求出的,且分別對應(yīng)的是,取,則,即. 例 設(shè)有一個階的行列式，化簡并求出它的值.,解 按照第一列展開的,可以寫成矩陣的另外一種形式,記矩陣,則,通過,我們可以計算出矩陣的,且分別對應(yīng),取,則,推出,即.例13 設(shè)有一個實對稱矩陣,并且它的階數(shù)是階，滿足條件,且為矩陣的秩,通過上述條件求出行列式的值.解 因為,所以,.因為矩陣是一個階的實對稱矩陣,所以它相似于對角矩陣,又因為矩陣的秩為,所以一定會存
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