【正文】 數(shù)問(wèn)題，則很少能得出解析解。 在工程分析和科學(xué)研究中，常常會(huì)遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應(yīng)的邊界條件描述的場(chǎng)問(wèn)題，如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)等問(wèn)題。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負(fù)荷，試求桿沿長(zhǎng)度方向任一截面的變形大小。有限元法的分析過(guò)程 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對(duì)象（物體或結(jié)構(gòu)），所謂離散化就是將所求解的對(duì)象劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個(gè)微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過(guò)若干點(diǎn)互相連接，每個(gè)連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。這樣，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。至于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次的選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性。有限元法的理論基礎(chǔ)有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對(duì)于結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的分析而言，其理論基礎(chǔ)是能量原理。它以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，在節(jié)點(diǎn)處建立位移連續(xù)方程，求解出節(jié)點(diǎn)力后，再求解節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力。3）嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊：這類分析模塊與設(shè)計(jì)軟件集成為一體，有限元分析在工程師所熟悉的設(shè)計(jì)環(huán)境中進(jìn)行，功能沒(méi)有專用或通用有限元分析軟件那么強(qiáng)大全面，但它們解決一般工程問(wèn)題的能力也是很強(qiáng)的，比較有代表性的有：IDEAS、PRO/ENGINEER和 UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中的有限元分析模塊。 目前，應(yīng)用比較廣泛的有限元分析軟件主要是ANSYS軟件。2) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析。ANSYS 程序可以分析大型三維柔體運(yùn)動(dòng)。還可用于螺線管、調(diào)節(jié)器、發(fā)電機(jī)、變換器、磁體、加速器、電解槽及無(wú)損檢測(cè)裝置等的設(shè)計(jì)和分析領(lǐng)域。這些功能可用來(lái)確定音響話筒的頻率響應(yīng)，研究音樂(lè)大廳的聲場(chǎng)強(qiáng)度分布，或預(yù)測(cè)水對(duì)振動(dòng)船體的阻尼效應(yīng)。即：對(duì)于例1，任意單元（e）的應(yīng)變能由應(yīng)變能公式可得： 則： 寫(xiě)成矩陣形式：而： 將總勢(shì)能最小公式寫(xiě)成矩陣形式，得出根據(jù)力邊界條件，可知：F1=R F2=0 F3=0 F4=0 F5=P 則得：根據(jù)位移邊界條件：u1=0 則有：求解上式矩陣，得出的結(jié)果與采用直接公式法得出的結(jié)果相同。解：根據(jù)上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可得：將矩陣方程簡(jiǎn)化可得： 求解上述矩陣方程得： 則節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)4的反力： 單元2的矩陣方程為： 則單元2的彈簧力為： 例2：下圖所示一彈簧系統(tǒng)，寫(xiě)出其整體剛度矩陣和邊界條件。則桿單元?jiǎng)偠确匠虨椋簩卧獞?yīng)變矩陣表達(dá)式代入單元?jiǎng)偠染仃嚳傻?這就是等截面直桿在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。系統(tǒng)整體剛度矩陣方程為：力和位移邊界條件為：將上述邊界條件代入矩陣方程可得：求解上述方程可得： 單元特性分析 如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖所示： 將軸向均布荷載轉(zhuǎn)換為作用在桿節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載，計(jì)算公式為：均勻分布荷載所做的功為：即： 根據(jù)能量守恒定律，有： ，即： 簡(jiǎn)化可得： 則節(jié)點(diǎn)力為： 很顯然，如下圖所示：如果等截面直桿單元位于二維平面坐標(biāo)中，如圖所示： 在局部坐標(biāo)中有兩個(gè)自由度，其中有一個(gè)自由度。在整體坐標(biāo)中有三個(gè)自由度。解：顯然，將整個(gè)梁分成兩個(gè)梁?jiǎn)卧Ｆ鋭偠染仃嚍椋簩?duì)于一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)，其鉸結(jié)端沒(méi)有彎矩，即：，則有：將上述方程代入剛度矩陣可得其單元?jiǎng)偠染仃嚍椋簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠蹋喝绻荷献饔糜蟹植驾d荷，如下圖所示：應(yīng)將分布載荷轉(zhuǎn)換為作用于節(jié)點(diǎn)上的集中力與彎矩，用公式表示為：當(dāng)時(shí)，則：同樣，如下圖所示的分布力可以進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變換矩陣中的元素為局部坐標(biāo)軸對(duì)整體坐標(biāo)軸的方向余弦則單元坐標(biāo)變換矩陣為：空間梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍椋鹤饔昧仃嚍椋簞偠确匠虨椋浩?、平面線性三角形單元 根據(jù)邊界條件可得： 平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：2單元應(yīng)力：或者 八、二次三角形單元九、雙線性四變形單元十、二次四變形單元十、線性四面體單元 。解：將均勻分布力進(jìn)行等效變換，如下圖所示:有限元方程為：力與位移邊界條件為：，于是方程可簡(jiǎn)化為：求解方程可得：相應(yīng)的，節(jié)點(diǎn)力與力矩為：懸臂梁左端的反力和反力矩為：平面問(wèn)題中梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換按照兩個(gè)坐標(biāo)系中位移向量相等效的原則，可以推出坐標(biāo)變換關(guān)系：寫(xiě)成矩陣形式可得：令：稱為坐標(biāo)變換矩陣。已知：。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的支座是球鉸，可以旋轉(zhuǎn)但不能平移。兩者之間的變換關(guān)系為：將上式寫(xiě)成矩陣形式為：令： 稱為變換矩陣，也是一個(gè)正交矩陣，即：對(duì)于等截面直桿單元，