【正文】 數(shù)問題，則很少能得出解析解。 在工程分析和科學研究中，常常會遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應的邊界條件描述的場問題，如位移場、應力場和溫度場等問題。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負荷，試求桿沿長度方向任一截面的變形大小。有限元法的分析過程 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對象（物體或結構），所謂離散化就是將所求解的對象劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。至于多項式的項數(shù)和階次的選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性。有限元法的理論基礎有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對于結構力學特性的分析而言，其理論基礎是能量原理。它以節(jié)點力作為基本未知量，在節(jié)點處建立位移連續(xù)方程，求解出節(jié)點力后，再求解節(jié)點位移和單元應力。3）嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊：這類分析模塊與設計軟件集成為一體，有限元分析在工程師所熟悉的設計環(huán)境中進行，功能沒有專用或通用有限元分析軟件那么強大全面，但它們解決一般工程問題的能力也是很強的，比較有代表性的有：IDEAS、PRO/ENGINEER和 UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中的有限元分析模塊。 目前，應用比較廣泛的有限元分析軟件主要是ANSYS軟件。2) 結構動力學分析。ANSYS 程序可以分析大型三維柔體運動。還可用于螺線管、調(diào)節(jié)器、發(fā)電機、變換器、磁體、加速器、電解槽及無損檢測裝置等的設計和分析領域。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響應，研究音樂大廳的聲場強度分布，或預測水對振動船體的阻尼效應。即：對于例1，任意單元（e）的應變能由應變能公式可得： 則： 寫成矩陣形式：而： 將總勢能最小公式寫成矩陣形式，得出根據(jù)力邊界條件，可知：F1=R F2=0 F3=0 F4=0 F5=P 則得：根據(jù)位移邊界條件：u1=0 則有：求解上式矩陣，得出的結果與采用直接公式法得出的結果相同。解：根據(jù)上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可得：將矩陣方程簡化可得： 求解上述矩陣方程得： 則節(jié)點1與節(jié)點4的反力： 單元2的矩陣方程為： 則單元2的彈簧力為： 例2：下圖所示一彈簧系統(tǒng)，寫出其整體剛度矩陣和邊界條件。則桿單元剛度方程為：將單元應變矩陣表達式代入單元剛度矩陣可得:這就是等截面直桿在局部坐標系中的單元剛度矩陣。系統(tǒng)整體剛度矩陣方程為：力和位移邊界條件為：將上述邊界條件代入矩陣方程可得：求解上述方程可得： 單元特性分析 如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖所示： 將軸向均布荷載轉換為作用在桿節(jié)點的等效節(jié)點荷載，計算公式為：均勻分布荷載所做的功為：即： 根據(jù)能量守恒定律，有： ，即： 簡化可得： 則節(jié)點力為： 很顯然，如下圖所示：如果等截面直桿單元位于二維平面坐標中，如圖所示： 在局部坐標中有兩個自由度，其中有一個自由度。在整體坐標中有三個自由度。解：顯然，將整個梁分成兩個梁單元。其剛度矩陣為：對于一端剛結，一端鉸結，其鉸結端沒有彎矩，即：，則有：將上述方程代入剛度矩陣可得其單元剛度矩陣為：單元剛度方程：如果梁上作用有分布載荷，如下圖所示：應將分布載荷轉換為作用于節(jié)點上的集中力與彎矩，用公式表示為：當時，則：同樣，如下圖所示的分布力可以進行等效轉換。節(jié)點坐標變換矩陣中的元素為局部坐標軸對整體坐標軸的方向余弦則單元坐標變換矩陣為：空間梁單元的剛度矩陣為：作用力矩陣為：剛度方程為：七、平面線性三角形單元 根據(jù)邊界條件可得： 平面應力問題：平面應變問題：2單元應力：或者 八、二次三角形單元九、雙線性四變形單元十、二次四變形單元十、線性四面體單元 。解：將均勻分布力進行等效變換，如下圖所示:有限元方程為：力與位移邊界條件為：，于是方程可簡化為：求解方程可得：相應的，節(jié)點力與力矩為：懸臂梁左端的反力和反力矩為：平面問題中梁單元的坐標變換按照兩個坐標系中位移向量相等效的原則，可以推出坐標變換關系：寫成矩陣形式可得：令：稱為坐標變換矩陣。已知：。節(jié)點節(jié)點2和節(jié)點3的支座是球鉸，可以旋轉但不能平移。兩者之間的變換關系為：將上式寫成矩陣形式為：令： 稱為變換矩陣，也是一個正交矩陣，即：對于等截面直桿單元，