第十一章有限元分析法概述-免費(fèi)閱讀
【正文】 解：題目求解主要有以下幾個(gè)關(guān)鍵問題：分布力通過形函數(shù)進(jìn)行等效變換；采用考慮軸向變形的彎曲梁?jiǎn)卧涣簡(jiǎn)卧仨殞⒕植孔鴺?biāo)系下的剛度矩陣變換為整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣；將各個(gè)梁?jiǎn)卧恼w坐標(biāo)系下的剛度矩陣組裝成整體坐標(biāo)系下的整體剛度矩陣。 如圖所示，為一考慮軸向變形的平面彎曲梁?jiǎn)卧Ａ?、梁?jiǎn)卧鐖D所示，為一簡(jiǎn)單平面純彎曲梁?jiǎn)卧ㄖ豢紤]彎曲，不考慮軸向變形）于是，定義梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)為：(位移邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角）)，則有： 寫成矩陣形式為：求解上述矩陣方程為：則位移函數(shù)可表示為：因此，定義形函數(shù)矩陣為：其中：則位移函數(shù)可簡(jiǎn)化為：在局部坐標(biāo)系統(tǒng)中有：，則局部坐標(biāo)系統(tǒng)中純彎曲梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)變?yōu)椋阂胍涣烤V變量：，稱為自然坐標(biāo)。對(duì)于單元1，有：對(duì)于單元2，有：組裝成系統(tǒng)總體剛度矩陣為： 則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元方程為： 載荷與位移邊界條件為： 代入有限元方程為:求解可得： 相應(yīng)的，兩桿應(yīng)力分別為：例題二：如圖所示為一平面桁架。已知 求該等截面直桿兩端點(diǎn)的反力。建立桿單元的整體坐標(biāo)系，則桿單元的位移函數(shù)可以表示為：寫成矩陣形式： 代入位移函數(shù)可得： 寫成矩陣形式： 將上式兩邊左乘可得： 則桿單元中的任一點(diǎn)位移可表示為：簡(jiǎn)化可得： 令： 稱為形函數(shù)， 則稱為形函數(shù)矩陣，它將單元的節(jié)點(diǎn)位移與單元的內(nèi)位移連接起來。對(duì)于單元1，有矩陣方程：對(duì)于單元2，也有矩陣方程：式中，表示第單元的第節(jié)點(diǎn)上作用的內(nèi)力。下面主要討論一下總體剛度矩陣與單元?jiǎng)偠染仃嚨年P(guān)系 我們?nèi)∪我坏冉孛嬷睏U單元，用線性彈簧近似表示，如圖所示。另外，還可以使用三維表面效應(yīng)單元和熱－流管單元模擬結(jié)構(gòu)的流體繞流并包括對(duì)流換熱效應(yīng)。熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過程的相變分析能力以及模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間的熱結(jié)構(gòu)耦合分析能力。結(jié)構(gòu)非線性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或部件的響應(yīng)隨外載荷不成比例變化。用來求解外載荷引起的位移、應(yīng)力和力。3）后處理階段。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析中，對(duì)大多數(shù)問題，位移法要比應(yīng)力法簡(jiǎn)單得多，從而得到了最廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，在本書中只討論有限元位移法。所以得到廣泛應(yīng)用，其缺點(diǎn)是精度稍低。集成過程所依據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。為了能用節(jié)點(diǎn)位移來表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，必須對(duì)各單元中位移的分布作出某種假設(shè)，也就是假定單元中任一點(diǎn)的位移是單元節(jié)點(diǎn)位移的某種簡(jiǎn)單的函數(shù)，以此模擬單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。下圖所示為將一懸臂梁建立有限元分析模型的例子，圖中將該懸臂梁劃分為許多三角形單元，三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn)。這樣，變橫截面桿就可以用5個(gè)節(jié)點(diǎn)和4個(gè)單元組成的模型來近似表示，如右圖所示。目前工程中實(shí)用的數(shù)值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。第十一章 有限元分析方法概述基本概念有限元分析方法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代沒計(jì)計(jì)算方法。其中，以有限元法通用性最好，解題效率高，目前在工程中的應(yīng)用最為廣泛。假設(shè)任一橫截面面積為A、長(zhǎng)為的等截面直桿，在軸向拉力F的作用下產(chǎn)生變形量，則該直桿橫截面上的應(yīng)力和應(yīng)變分別為： 根據(jù)虎克定律： 可得：上述方程與線性彈簧的方程極為相似，表明一個(gè)中心點(diǎn)集中受力且橫截面相等的等截面直桿可以等效為一個(gè)彈簧，其等效剛度為:因此，變橫截面桿可以看作由四個(gè)線性彈簧串聯(lián)起來的模型來近似表示，如下圖所示，每一個(gè)單元都可以視為一個(gè)線性彈簧，其彈性行為符合以下方程： 下面考慮每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力，根據(jù)靜力平衡條件，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的受力總和為0，即：節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3： 節(jié)點(diǎn)4： 節(jié)點(diǎn)5： 將反作用力R1和外力P從內(nèi)力中分離出來，重新對(duì)上述五個(gè)方程組成的方程組進(jìn)行變換，得：節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3： 節(jié)點(diǎn)4： 節(jié)點(diǎn)5： 將上述方程組寫成矩陣形式，有：將反作用力和外力分離出來，可以重組上述矩陣，得：寫成一般形式，可得： 即表示：引入邊界條件，根據(jù)本題的要求，節(jié)點(diǎn)1的位移為0，即 ，則有如下矩陣形式：通過求解上述矩陣方程，可得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而可以求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的反作用力，每一個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變。結(jié)構(gòu)離散化后，單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連結(jié)起來，單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視具體問題的性質(zhì)、描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析與計(jì)算中的關(guān)鍵，通常采用多項(xiàng)式作為位移模式。 確定約束條件 由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，在求解之前，必需根據(jù)具體情況，分析與確定求解對(duì)象問題的邊界約束條件，并對(duì)這些方程進(jìn)行適當(dāng)修正。2) 應(yīng)力法。有限元分析軟件 目前有限元分析軟件可以分為三類： 1）通用有限元分析軟件：這類軟件自成體系，側(cè)重點(diǎn)有所不同，但解決工程問題的領(lǐng)域比較寬，適應(yīng)
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