正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用(完整版)
【正文】 只要半正（負(fù)）定，則為極?。ù螅c(diǎn).例1 求函數(shù)的極值.解 ,，.解方程組，易得，（符號(hào)任意搭配），.于是，經(jīng)計(jì)算得正定；負(fù)定；，在，不取極值；在點(diǎn)，取極小值，；在點(diǎn)，取極大值，. 正定二次型在分塊矩陣中的應(yīng)用.例2 設(shè)，分別是階正定矩陣，試判定分塊矩陣是否為正定矩陣.解 可證是正定矩陣.因?yàn)?，都是?shí)對(duì)稱矩陣，從而也是實(shí)對(duì)稱矩陣且任意的，令，其中，且至少有一個(gè)是非零向量，于是.故是正定矩陣. 正定二次型在解決多項(xiàng)式根的有關(guān)問題中的應(yīng)用例3 設(shè)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根為，令， .證明 易證,這里.必要性 設(shè)是個(gè)互異實(shí)根，因?yàn)槭欠兜旅尚辛惺剑裕?所以與合同，即正定.充分性 設(shè)是正定的，所以，那么互異.若中有非實(shí)數(shù)，例如， （2）有唯一解.因?yàn)槭钦ǖ?，所以，作為二次型的是正定?由（2）式有.這與是正定即是正定的矛盾，所以中不能有非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，所以個(gè)根為互異的實(shí)根. 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用例4 利用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)如下二次曲面方程.其中.作平移代換,，則有即令又因?yàn)?所以適當(dāng)選取，使，由秩知：（線性方程組）有唯一解：.由，又因?yàn)槭强赡鎸?shí)對(duì)稱陣，所以存在正交陣使得，其中，,則.即，原方程可以化簡(jiǎn)為. 正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應(yīng)用眾所周知線形方程組即任意一組都可能使不等于零，我們?cè)O(shè)法找使最小，這樣稱為方程組的最小解，這種問題就叫最小二乘法問題.若記為上述線性方程組的系數(shù)矩陣，于是使得值最小的一定是方程組=的解，而其系數(shù)矩陣是一個(gè)正定矩陣，它的慣性指數(shù)等于，因此這個(gè)線性方程組是有解的，這個(gè)解就是最小二乘解. 正定二次型在歐氏空間中的應(yīng)用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）定理 設(shè)是上的歐氏空間，那么的內(nèi)積與階正定矩
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