【正文】 自平衡機(jī)器人作為一種典型的輪式移動(dòng)機(jī)器人，具有適應(yīng)環(huán)境能力強(qiáng)，移動(dòng)和轉(zhuǎn)向靈活方便、運(yùn)動(dòng)效率高、能量損耗小等特點(diǎn)，能夠完成多輪機(jī)器人無法完成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)及操作，特別適用于工作環(huán)境變化大、任務(wù)復(fù)雜的場合，因此自平衡兩輪機(jī)器人在工業(yè)、民用、軍事以及太空探索等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：兩輪車；非完整約束；動(dòng)力學(xué)建模；拉格朗日乘子法 III 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析Dynamic Modeling and Analyzing of a Two–wheeled Vehicle with LowgravityAbstract With the development of the science and technology, more attention focus on the mobile robot. As a kind of wheeled mobile robot, twowheeled selfbalanced robots have the capability to adapt the plex situations. It can move and shift flexibility. Therefore, twowheeled selfbalanced robot can perform several rounds of the plicated motion which the multiwheeled robot can not achieve, especially in the changeful environment such as space exploration, topographic reconnaissance and transportation of dangerous goods. So it is suitable for detecting in narrow and dangerous space and has a wide foreground both in civilian and space explore. But twowheeled selfbalanced robot has multivariable, nonlinear and parameter uncertainty characteristics. Therefore, the dynamic equation is quite plex and it is difficult to design a control system .Both of the negative factors limited the development of such robots.Based on summarizations of the present twowheeled selfbalanced robot in view of structure, a new twowheeled selfbalanced robot has been proposed. That is Twowheeled Vehicle with Low gravity. Twowheeled Vehicle with Low gravity is characterized by rapid motion, it can both run in omni direction and turn with zero radius. The design of the structure is different from the inverted pendulum. Due to adopt the structure of hanged pendulum, the two wheeled vehicle with low gravity has the nature of stability. In order to address the vibration phenomenon which is generally existed in the two wheeled vehicle, we propose a methed to use the principle of magnetorheological effect on the body to suppress the shock phenomena. This paper analyzes the law of motion and steering mechanism of the twowheeled vehicle with low gravity. Through analysis of robot in detail, we get robot’s model of kinetic energy and potential energy. Twowheeled selfbalanced robot’s dynamic model is established by using Lagrange equation, and it will provide a theoretical basis for the controller design.Simulation is developed derived dynamic model above using MATLAB to prove the effectiveness. At last we obtain the desired experimental curve of the displacement, velocity, tilt angle of the two wheeled vehicle with lowergravity. The analysis of the simulink results are conducted to ensure the validity and efficacy of the proposed dynamic model.Key Words：Twowheeled Vehicle；Nonholonomic；Dynamic Model。? 驅(qū)動(dòng)功率比較小，相同的能量能夠行使更長的里程。因此對(duì)兩輪自平衡機(jī)器人建立動(dòng)力學(xué)模型，然后尋找控制方式的優(yōu)化策略成為當(dāng)前機(jī)器人研究中的一大熱點(diǎn)。 兩輪自平衡機(jī)器人的國外研究現(xiàn)狀1996年，日本Tsukuba大學(xué)的Naoji Shiroma等人在前人設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上提出了使用倒立擺原理構(gòu)造兩輪車的想法并且設(shè)計(jì)了多個(gè)兩輪倒立擺機(jī)器人合作運(yùn)輸重物。這種機(jī)器人的一個(gè)比較明顯的局限是只適用于比較平坦的路況。 圖13 可移動(dòng)機(jī)器人2002年，、并且提出了兩種可供選擇的控制方法：一種是標(biāo)準(zhǔn)的線性控制法。設(shè)計(jì)中引入了電機(jī)的差動(dòng)驅(qū)動(dòng)方式,它可以工作在傾斜面甚至不規(guī)則表面上，并可遙操作。圖17 電子科大兩輪車2004年，中國科技大學(xué)段旭東、魏衡華等模仿機(jī)器人Joe設(shè)計(jì)了如圖18所示的二輪小車倒立擺系統(tǒng)，并針對(duì)系統(tǒng)建模過程中可能出現(xiàn)的不確定性以及噪聲問題進(jìn)行了研究。倒立擺式機(jī)器人質(zhì)量主要集中在車軸和擺桿頂端，有一定長度的擺桿，設(shè)計(jì)時(shí)可以充分借鑒倒立擺的研究成果，但是擴(kuò)展空間相對(duì)有限；質(zhì)量均布式機(jī)器人采用分層布置的思想，將元器件按照功能逐層布置，降低了機(jī)器人的高度，提高了運(yùn)動(dòng)靈活性，結(jié)構(gòu)層次清晰，擴(kuò)展功能方便。該球形機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡圖如圖19所示圖19 球形機(jī)器人另外還有一種介于兩輪自平衡機(jī)器人和球形機(jī)器人之間的機(jī)器人，它由兩個(gè)半球組成，并可以分別獨(dú)立控制，如圖110所示。因此本課題通過參考兩輪自平衡機(jī)器人和球形機(jī)器人的各種模型與樣機(jī)，力主設(shè)計(jì)一種新型的配重驅(qū)動(dòng)型兩輪自平衡機(jī)器人——低重心式兩輪車，以此擴(kuò)大傳統(tǒng)兩輪自平衡機(jī)器的使用范圍并增強(qiáng)其智能性和自適應(yīng)性。在者由于兩輪自平衡機(jī)器人內(nèi)部空間狹小，為放置控制器和傳感器帶來不便，電機(jī)供電引線易發(fā)生纏繞現(xiàn)象。動(dòng)力學(xué)模型是對(duì)低重心式兩輪車的準(zhǔn)確描述。目前很多性能良好的兩輪自平衡機(jī)器人樣機(jī)都是在不斷的對(duì)以往設(shè)計(jì)方案進(jìn)行改進(jìn)，在總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)、失敗的教訓(xùn)之后而提出來的。無論是兩輪自平衡機(jī)器人還是前面介紹的球形機(jī)器人，凡是屬于配重驅(qū)動(dòng)型的機(jī)器人都會(huì)面臨這樣一個(gè)問題：機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中配重的質(zhì)心會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，這樣勢(shì)必造成機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中的震蕩與不穩(wěn)定，尤其是配重的極度不穩(wěn)定。由于多盤片的承載面積大于單盤片的承載面積,因而穿過磁流變液的磁場強(qiáng)度相同,作多盤片上的阻尼力矩總是比單盤片的大. 但其軸向尺寸的增大,必然導(dǎo)致勵(lì)磁線圈物理尺寸和勵(lì)磁電流的增大,這些對(duì)于減小阻尼器的外部尺寸、降低勵(lì)磁線圈的發(fā)熱都是不利的。 因?yàn)榇┻^磁流變液的磁場強(qiáng)度隨通電電流大小的不同而不同,磁流變液對(duì)阻尼片的阻尼作用也就隨電流的改變而改變,因此磁流變阻尼器旋轉(zhuǎn)時(shí)受到的阻尼作用具有可控性。尤其是當(dāng)左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩大小相等方向相反時(shí)，低重心式兩輪車會(huì)實(shí)現(xiàn)零半徑轉(zhuǎn)向，此時(shí)低重心式兩輪車的配重位于豎直位置，低重心式兩輪車的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)此時(shí)完全依靠左右輪輸入力矩的差值?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人在力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面具有很大的難度。拉格朗日法是建立在能量的基礎(chǔ)上。建立兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型有利于對(duì)兩輪車的深入了解。李團(tuán)結(jié)教授等利用拉格朗日勞斯方程建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型并給出了消去拉格朗日乘子的策略。例如北京郵電大學(xué)的王亮清等在動(dòng)力學(xué)建模中使用了基于矢量運(yùn)算的Kane方法，由于無需計(jì)算系統(tǒng)各部分的動(dòng)能和勢(shì)能的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，有效地減少了計(jì)算量，并且在考慮地面滾動(dòng)摩阻力偶矩及系統(tǒng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩的情況下，對(duì)所建立的通用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了修正。拉格朗日方程是從系統(tǒng)的能量角度出發(fā)，基于達(dá)朗貝爾原理和虛功原理建立起來的。確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參數(shù)（長度或者角度）稱為廣義坐標(biāo)，記作。各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑可以用廣義坐標(biāo)確定為： （）將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移用廣義坐標(biāo)的等時(shí)變分表示為： （）代入動(dòng)力學(xué)普遍方程可以得到： （）然后經(jīng)過一系列化簡與代換我們可以得到用動(dòng)能表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的最終形式： （）（4）適用于完整系統(tǒng)的拉格朗日方程若系統(tǒng)為無多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，則廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度數(shù)相等動(dòng)力學(xué)普遍方程可以寫作： （）由于個(gè)廣義坐標(biāo)的變分為獨(dú)立變量，可以任意選取，因此動(dòng)力學(xué)普遍方程成立的充分必要條件為變分前的系數(shù)等于零。（6）勞斯方程分析實(shí)際工程問題時(shí)，采用廣義坐標(biāo)代替笛卡爾坐標(biāo)可以使未知變量明顯減少。根據(jù)廣義力的定義我們可以知道： （） 但是在實(shí)際工程問題中我們很難按照廣義力的定義來直接求取廣義力。? 忽略低重心式兩輪車內(nèi)部能量損耗，例如：軸承摩擦等。低重心式兩輪車在運(yùn)動(dòng)過程中主要的運(yùn)動(dòng)形式為前向滾動(dòng)，對(duì)于低重心式兩輪車的平面—車輪系統(tǒng)來說，在前向滾動(dòng)過程中是要受到一定約束條件限制的，這其中就包括純滾動(dòng)約束。考慮到車架的質(zhì)量較小，故在計(jì)算車體的動(dòng)能的時(shí)候忽略車架的動(dòng)能，從而只需要計(jì)算左、右車輪的動(dòng)能。為低重心式兩輪車右輪繞其豎直直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 于是, 剪切式磁流變液阻尼器結(jié)構(gòu)中的磁流變液剪應(yīng)變率可以寫作： （341）其中 為磁流變液厚度, 為盤片的極半徑, 為阻尼器軸的旋轉(zhuǎn)角速度。為拉格朗日乘子向量。利用仿真技術(shù)可以方便的建立機(jī)器人的虛擬樣機(jī)模型，在設(shè)計(jì)之初就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析、動(dòng)力分析、載荷及應(yīng)力分析，可大大提高機(jī)器人的設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量。SFunction 使用一種特殊的調(diào)用格式來與MATLAB現(xiàn)有仿真模塊Simulink 的方程求解器相互作用，這與發(fā)生在求解器和內(nèi)置Simulink 模塊之間的相互作用非常相似。具體說來就是用S 函數(shù)就是語法編寫M 文件來構(gòu)成仿真模型。同時(shí)，通過用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的辦法，可以更加科學(xué)有效的對(duì)物理樣機(jī)做出準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)和改型建議。對(duì)低重心式兩輪車完整動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行處理的一個(gè)主要任務(wù)就是消去引入的拉格朗日乘子，得到廣義坐標(biāo)的狀態(tài)函數(shù)。當(dāng)外力矩足夠大時(shí), 剪切式磁流變液阻尼器中的磁流變液發(fā)生屈服,產(chǎn)生塑性流動(dòng),阻尼器就發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。 低重心式兩輪車的勢(shì)能模型若要確定低重心式兩輪車的勢(shì)能首先要確定低重心式兩輪車的零勢(shì)能面，考慮到所建立的低重心式兩輪車左右關(guān)于中心軸對(duì)稱，在上下又關(guān)于低重心式兩輪車左右車輪輪軸所在的平面對(duì)稱，因此為了以后的計(jì)算方便和建立模型的簡潔性方面考慮選擇低重心式兩輪車左右車輪輪軸所在的平面為零勢(shì)能面，那么低重心式兩輪車的勢(shì)能可以表達(dá)如下： （336）在磁場作用下,剪切式磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器的阻尼力矩 主要由磁場誘導(dǎo)阻尼力矩 和粘性阻尼力矩 兩部分組成,即： （337） 剪切式磁流變液阻尼器磁場誘導(dǎo)阻尼力矩的計(jì)算阻尼片旋轉(zhuǎn)時(shí),磁流變液在磁場的作用下產(chǎn)生的磁場誘導(dǎo)阻尼力矩計(jì)算公式如下所示： (338)其中, 為阻尼盤片上一點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離, 為該點(diǎn)的磁流變液屈服應(yīng)力大小, 為微元面積, 為磁場強(qiáng)度。下面分別對(duì)低重心式兩輪車的質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能、車輪繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)