【正文】 式。解：設(shè)m1的位移為x1(t)，如圖題312所示。方法1：由響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項指數(shù)衰減項，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個極點，分別為?2和?1，即系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，而且因為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，故可知系統(tǒng)微分方程的特解為1，由此可知，系統(tǒng)微分方程中不存在輸入的微分項，所以，系統(tǒng)的微分方程形式為在考慮初始條件的情況下，對上式做拉氏變換得即亦即 （1）（1）式中第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖題3－2解：對J1列寫平衡方程得 （1） （2） （3） （4）式中T2為J1的輸出轉(zhuǎn)矩，T3為J2的輸入轉(zhuǎn)矩，θ2為J2的轉(zhuǎn)角。（6）傳遞函數(shù)非常適用于對單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行描述。所謂疊加原理是，系統(tǒng)在幾個外加作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，等于各個外加作用單獨作用的響應(yīng)之和。先將F(s)展開成部分分式因為兩個極點共軛，所以K2與K1共軛，即即 所以 解法2：查表法利用拉氏變換對照表查得（2）解法1：利用部分分式法。（2） 通過取F(s)的拉氏反變換，求f(t)，再求f 39。（4）解法1：，如圖22所示。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。（7）終值定理若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點處唯一的極點外，sF(s)在包含jω軸的右半s平面內(nèi)是解析的（這意味著當(dāng)t→∞時f(t)趨于一個確定的值），則函數(shù)f(t)的的終值為 （8）卷積定理若，則有 式中，積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。如果在t＝0處有斷點，f(0－)≠f(0＋)，則該定理需修改成f(0＋)為由正向使t→0時的f(t)值；f(0—)為由負(fù)向使t→0時的f(t)值；進(jìn)而可推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換： 式中f (i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t=0時的取值。電冰箱、電飯鍋、空調(diào)等均屬閉環(huán)控制。當(dāng)主軸受到負(fù)荷W后，產(chǎn)生偏移e，因而使軸承下油腔壓力p2增加，軸承上油腔壓力p1減小，這樣，與之相通的薄膜反饋機(jī)構(gòu)的下油腔壓力亦隨之增加，上油腔壓力則減小，從而使薄膜向上產(chǎn)生凸起變形δ，因此薄膜下半部高壓油輸入軸承的通道擴(kuò)大，液阻下降，從而使軸承下部壓力上升。解答：信息：一切能表達(dá)一定含義的信號、密碼、情報和消息。具體地說，它研究的是機(jī)械工程技術(shù)中的廣義系統(tǒng)在一定的外界條件（即輸入或激勵，包括外加控制與外加干擾）作用下，從系統(tǒng)的一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其內(nèi)部的固有特性（即由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的特性）所決定的整個動態(tài)歷程：研究這一系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動態(tài)關(guān)系。如果反饋回去的訊號（或作用）與原系統(tǒng)的輸入訊號（或作用）的方向相反，則稱之為“負(fù)反饋”；反饋回去的信號（或作用）與系統(tǒng)的輸入信號（或作用）的方向相同，則稱之為“正反饋”。閉環(huán)控制：為了提高控制精度，采用圖11(b)所示的反饋控制，以檢測裝置隨時測定工作臺的實際位置(即其輸出信息)；然后反饋送回輸入端，與控制指令比較，再根據(jù)工作臺實際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動作，達(dá)到消除誤差的目的。這一條件是使拉氏變換的被積函數(shù)f(t)e＿st絕對收斂，由下式看出因為 所以 只要是在復(fù)平面上對于Re(s)＞a的所有復(fù)數(shù)s，都能使式(21)的積分絕對收斂，則Re(s)＞a為拉氏變換的定義域，a稱作收斂坐標(biāo)，見圖2f2。對于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級的，則上述定理修改如下：如果f(t)在t＝0處包含一個脈沖函數(shù)，則，此時依此類推如果，該定理也要修正成（4）時域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實數(shù)a，有 f(t－a)為延遲時間a的函數(shù)f(t)，當(dāng)t＜a時，f(t)＝0。注意，由于f(t)是個實函數(shù)。利用拉氏變換線性特性、延時特性和復(fù)域平移特性【注】本題不可對第二項(t?1)2e2t采用如下方法：因為，利用時域位移定理得，再利用復(fù)域平移定理得。【注】本題求拉氏反變換時，可以利用教材表21中的第10項。25 求圖題2－5所示的各種波形所表示的函數(shù)的拉氏變換。數(shù)學(xué)模型有多種形式，如微分方程、傳遞函數(shù)、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)及狀態(tài)空間表達(dá)式等等。（3）傳遞函數(shù)分子中s的階次不會大于分母中s的階次。10. 如何從高階微分方程推出狀態(tài)方程？如何由傳遞函數(shù)推出狀態(tài)方程？習(xí) 題31 列出圖題3－1所示各種機(jī)械系統(tǒng)的運動微分方程式(圖中未注明x(t)均為輸入位移，y(t)為輸出位移)。解：對m1使用牛頓第二定律得 （1）對m2使用牛頓第二定律得 （2）由公式（2）得 （3）對（1）式等號兩邊同時求微分一次得 （4）將（3）式表示的及其二、三階導(dǎo)數(shù)代入（4）并整理得到36 求圖題3－6所示的各機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。39 若某系統(tǒng)在階躍輸入x(t)＝1(t)作用時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)。圖題解311（a）（b）X(s)X1(s)F(s)F(s)X1(s)X (s)＋＋（c）X(s)＋＋（d）X(s)F(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解311（c）所示，化簡得方塊圖（d）。發(fā)動機(jī)速度由轉(zhuǎn)速測量裝置進(jìn)行測量。u、y分別為輸入、輸出，ααα3是標(biāo)量。按分類的原則不同，時間響應(yīng)有不同的分類方法。曲線形狀如圖41fs所示。習(xí) 題41 √設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。s1（負(fù)根舍掉），ζ=。這是一個1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t) ＝ 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。特征方程的根=閉環(huán)傳遞函數(shù)極點：，177。1型系統(tǒng)對單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。49 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題4－9所示。若在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以消除對階躍型輸入信號響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除由階躍型干擾信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差。7. 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的定義及本質(zhì)區(qū)別。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑤解：由一個比例環(huán)節(jié)、一個一階微分環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2= rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑦解：一個比例環(huán)節(jié)，一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個微分環(huán)節(jié)），一個積分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個積分環(huán)節(jié)），然后三者并聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec15010050050100 102101100101102103270225180135904504590Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys5sys?60dB/dec?40dB/dec?20dB/dec?40dB/decL(ω)/dBφ(ω)/186。15010050050100 10210110010110236031527022518013590450Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys?20dB/decL(ω)/dBφ(ω)/186。56 √設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求閉環(huán)系統(tǒng)的Mr，ωr及ωb。解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為由上式可見，這是一個典型二階系統(tǒng)，其中 （1） （2）將阻尼比ζ代入解得代入（2）式得根據(jù)題意，幅頻特性存在峰值，所以阻尼比應(yīng)該小于，即取ζ=，K=。(b)（b）由圖中對數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，由一個比例環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）和一個一階微分環(huán)節(jié)（斜率+20dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：式中靜態(tài)增益K可由水平段線段確定，即解得 K=10時間常數(shù)Ti（i=1，2，3）為各對應(yīng)段漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T1=1/=20 sT2=1/=10 sT3=1/=2 s將結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得下圖是根據(jù)求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。阻尼比小于振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性的峰值為所以 解得 因為振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rad特征根：， 177。（1）解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為： 方法1：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)勞斯數(shù)列為系統(tǒng)若要穩(wěn)定，特征方程系數(shù)必須全為正，且勞斯數(shù)列第一列必須全大于0，即由此解得：當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù) 根據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，解得當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖題63X(s)Y(s)+－X(s)Y(s)+－（a）2s+－（b）解：（a）前向傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：利用勞斯判據(jù)判穩(wěn)特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件。（1）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為p1=?1，p2=?10，即在右半s平面無極點存在，所以p=0?！?270186。之間，且終點從第2象限趨于原點，所以與負(fù)實軸必有一交點，令I(lǐng)m(ω)=0得交點頻率為，代入實部得交點的實部為2502001501005002000150010005000500100015002000Re(ω)Im(ω) 25201510504224Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)因為存在積分環(huán)節(jié)，即開環(huán)傳遞函數(shù)在原點有一個極點，將此極點看成在左半s平面，則從ω=0?到ω=0+用一個半徑為無窮大的圓順時針將Nyquist曲線封閉起來即可判穩(wěn)。66 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使相位裕量等于45186。612 設(shè)控制系統(tǒng)中：，該系統(tǒng)在增益K為任何值時均不穩(wěn)定，試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖，利用作出的根軌跡圖，說明在負(fù)載軸上加一個零點，即把G(s)改為可以使該系統(tǒng)穩(wěn)定。67 有下列開環(huán)傳遞函數(shù)（1）（2）（3）試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖并分別求它們的幅值裕量和相位裕量。（4）Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)210123456432101234p=0，N=0，N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。令Re(ω)=0得與虛軸之交點頻率為，代入虛部得交點的虛部為Im(ωI)=??！?180186。特征根： 177。，特征根：， 177。勞斯數(shù)列為 系統(tǒng)穩(wěn)定方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結(jié)果是否全為正。（2）解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為：方法1：利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯判據(jù)必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看勞斯數(shù)列第一列元素的符號是否相同。由勞斯數(shù)列第一列元素的符號變化次數(shù)可確定特征方程具有正實部根的個數(shù)。第6章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性復(fù)習(xí)思考題1. 如何區(qū)分穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)？2. 判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的基本出發(fā)點是什么？3. 勞斯－胡爾維茨判別系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是什么？4. 乃奎斯特方法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原理和方法，為什么能用開環(huán)傳遞函數(shù)并結(jié)合開環(huán)乃奎斯特圖就可以判定閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置？5. 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點存在時，如何處理對應(yīng)于極點處的乃奎斯特圖？6. 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點或虛軸上存在重極點時，對應(yīng)的乃奎斯特圖與無重極點的有什么不同？7. 相位裕量和幅值裕量是如何定義的，在極坐標(biāo)和對數(shù)坐標(biāo)上如何表示？8. 根軌跡是如何定義的？它應(yīng)滿足什么條件？9. 根據(jù)哪些特征就能方便地畫出根軌跡的近似線？習(xí) 題61 設(shè)(圖題61)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，試判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否。(d) rads1ec)01System: sysPeak gain (abs): At frequency ( rad所以相對諧振峰值：謝振頻率： 截止頻率：1020304050607080901001801359045