【正文】 解: 由 ，所以: ! ，.由均差的性質(zhì)(三)可知: ，3. 給定函數(shù)表0123457452665128（1） 試用Lagrange插值法求一個三次插值多項(xiàng)式，并由此求的近似值。（3）次插值：。所以： 10. 已知三角形面積S=absinc,其中c為弧度，滿足0c，且a,b,c,的誤差分別為 ,。4. 下列公式如何計(jì)算才比較準(zhǔn)確：(1)當(dāng)x的絕對值充分小時，計(jì)算；（2）當(dāng)N的絕對值充分大時，計(jì)算；（3）當(dāng)x的絕對值充分大時，計(jì)算。（5）一元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)（6）一元函數(shù)的相對誤差限：。數(shù)值計(jì)算方法配套答案第一章 緒論一 本章的學(xué)習(xí)要求（1）會求有效數(shù)字。（7）二元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)（8）二元函數(shù)的相對誤差限：。解：（1）當(dāng)時，===（2）當(dāng)時，===(3)當(dāng)時，==。證明面積誤差滿足++。（4）拉格朗日插值余項(xiàng)：。（2） 試用Newton插值公式求一個三次插值多項(xiàng)式，并由此求的近似值。5. 設(shè)且，求證：。問當(dāng)h取多大才能保證其截?cái)嗾`差的絕對值不超過。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，設(shè)所求多項(xiàng)式為：，代入條件，即可求得：。（2）會將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，在這里只給出結(jié)果。5. 已知數(shù)據(jù)表 01234求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：先將線性化，即兩邊取以10為底的對數(shù)，變?yōu)椋O(shè)，所以原式變?yōu)椋?。?本章應(yīng)掌握的重點(diǎn)公式（1）梯形公式：。2. 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構(gòu)造的求積公式所具有的代數(shù)精度。當(dāng)時，左邊=右邊。試確定求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度及余項(xiàng)表達(dá)式。9. 用高斯勒讓德求積公式，取n=2計(jì)算定積分。 第五章 常微分方程的數(shù)值解法一 本章的學(xué)習(xí)要求（1）能夠熟練的應(yīng)用歐拉公式求初值問題。（3）由經(jīng)典的四階RungeKutta公式可知： 公式為：記為（1），所以有：，代入到（1）得：。證明：由梯形公式：，代入化簡可得：，合并同類項(xiàng)，整理可得：，化簡得：，由已知，于是上式化為，即成立。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，在這里只給出結(jié)果。14. 對于初值問題的模型方程，求二階RungeKutta方法的穩(wěn)定區(qū)間。二 本章應(yīng)掌握的重點(diǎn)公式（1）牛頓迭代公式：。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行證明。4. 對于，要使迭代公式局部收斂到，求的取值范圍。7. 用Newton法求下列方程的根，準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。9. 用弦截法求下列方程的根，準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。應(yīng)用迭代公式，則，即，同樣取初值進(jìn)行迭代：。（2），這里：。二 本章應(yīng)掌握的重點(diǎn)公式（1）矩陣的各種范數(shù)：， 。證明：（1）只要證出即可，因?yàn)椋河蔀閷ΨQ矩陣則上式化為證畢。 6. 設(shè)為非奇異下三角矩陣，（1）列出逐次代入求解的公式；（2）上述求解過程需要多少次乘除法？證明：（1）設(shè)，其中：。下面解此方程組，先解，即：，解得：，再解。11. 記其中，證明：。14. 設(shè)為對稱矩陣，為的特征值，證明。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行證明，提示：，當(dāng)且僅當(dāng)：。第八章 解線性方程組的迭代法一 本章的學(xué)習(xí)要求（1）會應(yīng)用Jacobi迭代法和GAUSSSeidel迭代法判斷斂散性。2. 給定方程（1），（2）證明：對（1）Jacobi迭代收斂，而GaussSeidel迭代發(fā)散；（2）Jacobi迭代發(fā)散，而GaussSeidel迭代收斂。解：首先應(yīng)用Jacobi迭代法可知：，令：，解得：，顯然，收斂。應(yīng)用Jacobi迭代公式：，令行列式：，解得：，或，命題成立。11. 設(shè)方程組，證明解此方程組的Jacobi迭代法與GaussSeidel迭代法同時收斂或發(fā)散；并給出兩種迭代法收斂的充要條件。14. 已知方程組，對任意，若用迭代公式求解此方程組時，（1）的取值范圍，使迭代公式收斂；（2）取何值時，收斂速度最快？解：由，可知，根據(jù)可得：，對照公式，可知此時：設(shè)為的特征根，則的特征根為：，令行列式：，解得：，所以的特征值為：，和，要想收斂則普半徑為：，解不等式組：，解得：。若用此三個值計(jì)算圓錐體積時，則的誤差限為 7. 已知求積公式滿足：，則此公式至少具有 次代數(shù)精度。 int i。 } //輸出結(jié)果 printf(第一題\n\nn\tI(A)\t\t\t\tn\tI(B)\n)。 for(i=0。}運(yùn)行結(jié)果：三 用梯形公式的遞推化公式計(jì)算積分，要求誤差不超過。 for(i=0。jk。i4。 for(i=0。}運(yùn)行結(jié)果：五 設(shè)初值問題，取h=，試用Euler方法、后退的Euler方法和梯形公式求解。 Y3[i+1]=(*Y3[i]+*X+)/。i++) { printf(%.1f\t%.6f\t%.6f\t%.6f\t%.6f\n,*i,Y1[i],Y2[i],Y3[i],Y4[i])。 i++。 printf((1)簡單迭代法\n)。i=N2。A=[ 2 2 。endB1=E(:,4)。 int i,j。j++) { x1[j]=x1[j1]+w[i]*(244*x1[j1]3*x2[j1])/。 x3[j]=x3[j1]+w[i]*(24+x2[j]4*x3[j1])/。 for(i=0。x2=vpa((B1(2)E(2,3)*x3)/E(2,2),8)。 5. 5625 4]。 } printf(利用牛頓法滿足有效數(shù)字的方程的根x = %\n,X2[N21])。i=N1。 //牛頓迭代 i=1。（1）在附近的根；（2）在附近的根。 } X=*i。 int i。i++) { C[i]=*S[i+1]/15S[i]/。 } printf(*******************************************\n)。 } printf(滿足誤差要求的積分表達(dá)式的值=%\n,T[k1])。i++) { s=s+func(a+(2*i+1)**(ba)/pow(2,k))。 t=(1+x*x)。i++) { for(j=0。i21。 // 利用遞推公式(A),計(jì)算IA for(i=1。21012351117252. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合19253138441949 111113. 試確定函數(shù)，使迭代公式產(chǎn)生的序列至少三階局部收斂到的根。由解析幾何的思想：，且：。再應(yīng)用GaussSeidel迭代法：，令行列式：，解得：，所以普半徑：。證明：要想正定各階順序主子式均大于0，即：，解得：，綜上所述：。由：，對上式取行列式，即：，解得：，所以：，發(fā)散。下面應(yīng)用GaussSeidel迭代法：，令行列式：，解得：，發(fā)散。（2）GaussSeidel迭代，先求，再令，再根據(jù)收斂。.。 所以：。由兩邊夾得：。9. 設(shè)向量，求。（2）計(jì)算次數(shù)為：次乘除法。4. 設(shè)有方程組，試將系數(shù)矩陣分解成一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣之積；即，然后用你的分解解此方程組。（3）當(dāng)系數(shù)矩陣為對稱矩陣時，普半徑等于二范數(shù)。14. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明迭代公式是二階收斂的。解：設(shè)，所以：，由Newton迭代公式，即：，整理得：，此即為所求的迭代公式。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。解：本題為上機(jī)題。5. 用迭代法求方程的根，求使迭代序列具有局部平方收斂。3. 設(shè)有方程，（1）證明該方程在區(qū)間上有唯一根。三 本章習(xí)題解析1. 用二分法求方程在內(nèi)的近似根，準(zhǔn)確到。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答，在這里只給出結(jié)果。11. 證明初值問題，是二階