【正文】 （2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=，P（）=，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=，P（|）=，故由貝葉斯公式知（1） %(2) %.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，∶，試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai={箱中原有i個(gè)白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,={抽出一球?yàn)榘浊騷.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類(lèi)：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，,；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A={該客戶(hù)是“謹(jǐn)慎的”}，B={該客戶(hù)是“一般的”}，C={該客戶(hù)是“冒失的”}，D={該客戶(hù)在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、,，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 31.，?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為 故 n≥11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，,，若只有一人擊中，；若有兩人擊中，；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(++)+(++)+=35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無(wú)效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率.（2） 新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機(jī)開(kāi)始時(shí)有6位乘客，：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開(kāi)”；（2） B=“沒(méi)有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開(kāi)”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開(kāi)，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi)，故（3） 由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi)，故可在十層中的任一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開(kāi)，因此可包含以下三種離開(kāi)方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi)，另一人在其余8層中任一層離開(kāi)，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開(kāi)，有種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長(zhǎng)分別為x,y,0xa,0ya,0axya所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，（抽樣是無(wú)放回的）.證明試開(kāi)k次（k=1,2,…,n）才能把門(mén)打開(kāi)的概率與k無(wú)關(guān).【證】 ，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3. 在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=，原立方體的六個(gè)面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=（8+96+384）=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無(wú)色的，故所求概率為,.，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】 42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設(shè)={杯中球的最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對(duì)稱(chēng)性知P（A）=P（B）（1） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反乙反）由對(duì)稱(chēng)性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有 同理由 得 故 ，有k(k≥n).【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車(chē)廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車(chē)廂全空的概率是零，于是 故所求概率為，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε：不論ε0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}B={這只硬幣為正品}由題知 則由貝葉斯公式知 （Banach）火柴盒問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以BB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說(shuō)明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。（2）=，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 X2 1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/30{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)y0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y≤1時(shí)當(dāng)y1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y0時(shí) 故~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0X1）=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0y1時(shí)， 當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。F（x）=則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sinx0，f(x)也不是密度函數(shù)。（X，Y）的分布密度f(wàn)（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X}；（4） 求P{X+Y≤4}.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖，X在（0，）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}.題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布