【正文】 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y0時(shí) 故~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0X1）=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0y1時(shí)， 當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。F（x）=則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。(C) [π/2,0]。在上，當(dāng)時(shí)，sinx0，f(x)也不是密度函數(shù)。（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購(gòu)買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0y1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P（Xk）=若1≤k≤3時(shí)P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】~N（2，σ2），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故 ，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，σ2）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。（X，Y）的分布密度f(wàn)（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X}；（4） 求P{X+Y≤4}.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖，X在（0，）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}.題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以 (2) （X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度f(wàn)Y｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 題11圖【解】 所以 ，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨(dú)立（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 8 （1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258P{Y=yi}(2) 因故X與Y不獨(dú)立.，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是故 X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為： （以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z≤0時(shí)，（2） 當(dāng)0z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 （以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202） 只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n. 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn。（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 ，其中9個(gè)合格品，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P由此可得 （以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 200元 故 (元).，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=μ， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計(jì)算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表74X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得