實變函數(shù)第一章答案(完整版)
【正文】 定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤. 顯然當(dāng)時，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.1．直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答 直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是. 這是因為：為單射，而為滿射，所以. 區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因為：.2．用表示上的一切連續(xù)實值函數(shù)之集，證明：(1) 設(shè)，則；(2) 公式定義了單射；(3) ．證明 (1) 必要性. 顯然.充分性. 假設(shè)成立. 因為，存在有理數(shù)列，使得，由，可得及.又因為為有理點列，所以有，故，都有.(2) ，設(shè)，即.由(1)知：. 故為單射. (3) 由(2)知：；又由，可得. 故.3．設(shè)為閉區(qū)間上的一切實值函數(shù)之集，證明：(1) 定義了一個單射；(2) ，定義了單射；(3) 的基數(shù)是．證明 (1) ，設(shè)，即.從而，故為單射. (2) ，設(shè)，則，故為單射. (3) 由(1)知：；又由(2)知：，故.4．證明：．證明 因為，而，故；又由定理1..：.5．證明：若為任一平面點集且至少有一內(nèi)點，則．證明 顯然. 設(shè)，則使得，可知，故.第一章總練習(xí)題 證明下列集合等式．(1) ；(2) ．證明 (1) 因為 ,.所以.(2) 因為所以. 證明下列集合等式．(1) ；(2) ．證明 (1) .(2) .3．證明：，其中為定義在的兩個實值函數(shù)，為任一常數(shù)．證明
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