奇偶性與單調(diào)性及典型例題(完整版)
【正文】 2x}, ∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=－4. ［例2］已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)f(0)對(duì)所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由. 命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★★題目. 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題. 錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法. 技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題. 解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)(cos2θ－3)f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－32mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－20. 設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正. ∴當(dāng)0,即m0時(shí)，g(0)=2m－20m1與m0不符； 當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－20 4－2m4+2,∴4－2m≤2. 當(dāng)1,即m2時(shí)，g(1)=m－10m1.∴m2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4－2. ●錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)，并具有綜合分析問題和解決問題的能力. (2)，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f()等于( ) B.－ D.－ 2.(★★★★)已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)0,?jiǎng)ta的取值范圍是( ) A.(2，3) B.(3，) C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)0的解集為_________. 4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________. 三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明. 6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函數(shù)， (1)求a的值； (2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x)。當(dāng)k≥2時(shí)，不等式解集為{x|－1＜x＜1 .： ，對(duì)x∈R恒成立, ∴m∈［ ,3］∪{ }.：(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a0,b0,x0,∴f(x)= ≥2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)等號(hào)成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .(2)設(shè)存在一點(diǎn)(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1，0）的對(duì)稱點(diǎn)(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1177。 奇偶性與單調(diào)性及典型例題 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象. 難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★)設(shè)a0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù). 案例探究 ?。劾?］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對(duì)任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減. 命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、★★★★題目. 知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想. 錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果賦值不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得. 技巧與方法：對(duì)于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解
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