圓錐曲線大題歸類(完整版)
【正文】 y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.λ＝(4－t)＋(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，將(*)代入，得t＝－，∴直線l過定點(0，－)．：y2＝2px(p0)的焦點F(1,0)，O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點．[解析] (1)因為拋物線y2＝2px(p0)的焦點坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A(，t)，B(，－t)．因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以＝0，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標(biāo)．[解析] (1)圓M的圓心為(3,1)，半徑r＝.由題意知A(0,1)，F(xiàn)(c,0)，直線AF的方程為＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直線AF與圓M相切，得＝，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)方法一：由＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)．綜上所述，直線AB過定點(8,0)．圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．二．定值問題：＋＝1(ab0)的兩個焦點分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線互相垂直.(1)求橢圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)點N(3,2)，記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1＋k2定值．[解析] (1)依題意，由已知得c＝，則a2－b2＝2，由已知易得b＝|OM|＝1，所以a＝，所以橢圓的方程為＋y2＝1.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)A(1，)，B(1，－)，則k1＋k2＝＋＝2為定值．②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，依題意知，直線l與橢圓C必相交于兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以k1＋k2＝＋＝＝＝＝＝＝2，綜上，得k1＋k2為定值2.例4 （2016北京理科）求定
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