【正文】 矢量 的合矢量 的端點在 X 軸上的投影 M的運動也是簡諧振動，其頻率與原來兩個振動相同。并計算周期。 t=，質點的位置、速度和加速度。 動能的時間平均值 : ? ?? Tk dttkATE 0 22 )(s i n211 ??241 kA?勢能的時間平均值 : ? ?? TP dttkATE 0 22 )(c o s211 ??241 kA?彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。求（ 1）此簡諧振動的表達式；（ 2）從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時刻。 A?19 o xyA??0?x0?v0?x0?x0?x0?v0?v0?a0?a0?a0?a0?v旋轉矢量法確定初位相。 )c o s ( ?? ?? tAx16 2020 ?????????vxA② /① 有： AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??0?t 時 ① ② ① 2+(② /?)2， 22020 )/( Avx ?? ? ?在 0—2?之間有兩個解，但只有一個解符合要求，為此要根據已知的 x0、 v0的正負來判斷和取舍。 ? 初位相 ?(t)=?t+?位相 ?角頻率 —由系統本身的性質決定。 取逆時針為 ? 張角正向，以懸點為軸，只有重力產生力矩。 簡諧振動運動方程 定義： 凡是決定其位置的坐標按余弦或正弦函數規(guī)律隨時間變化的振動都是 簡諧振動 。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧振動。1 機械振動 高有輝 2 本章導讀 [ 基本要求 ] 一、掌握簡諧振動的特征和規(guī)律。 第七章 機械振動 6 xo彈Fx一、簡諧振動 ?? 以彈簧振子為例 將物體視為質點，建立坐標系， o點選在彈簧平衡位置處。 。 ? lgmT?s i nmg lM ??― – ‖表示力矩與 ? 張角方向相反。 x位移 — 振動物體 離開平衡位置的位移。 )c o s ( ?? ?? tAx)si n ( ??? ??? tAv17 研究端點 M 在 x 軸上投影點的運動 ， xo xy??? ?tM? t=0,矢量與坐標軸的夾角等于初相 ? P三、簡諧振動的旋轉矢量法 ?Av1. M 點在 x 軸上投影點的運動 )c o s ( ?? ?? tAx 為簡諧振動。 Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅱ 0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx?在第 Ⅰ 象限 ?在第 Ⅳ 象限 ?在第 Ⅱ 象限 ?在第 Ⅲ 象限 o xyA??0?t2/0 Ax ?00 ?v 3?? ?3??? AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??20 幾種特特殊位置初位相。 解： )( mA ? ),/(2 sr a dT ??? ??3?? ??)c os ( ?? ?? tAx取平衡位置為坐標原點， o xyA??3?? ??由旋轉矢量法可得： ))(3c o s ( SItx ?? ???（ 2）由旋轉矢量法可知，質點第一次通過平衡位置時，振幅矢量轉過的角度為： 設 652???? ????)( st ??? ??24 例 .一質點在 x軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動通過 A點作為計時起點（ t=0），經過 2s后第一次經過 B點，再經過 2s后第二次經過 B點，若已知該質點在 A、 B兩點具有相同的速率，且 AB=10cm。 結論 ： 29 （ 1） 振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。 3如果在某時刻質點位于 x=6cm，且向 x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。 解： 取平衡位置為坐標原點 平衡時： 0?? Fmg浮力： VgF ??其中 V 為比重計的排水體積 0 mg F 40 222dd2 txmgxdVmg ????????????????? ??xmgdtx4dd 222 ????222dd2 txmxdgVgmg ????????? ???x 0 x mgd ???2? gmdT???? 42 ??41 例題 證明圖示系統的振動為簡諧振動。 21, AA?? A?51 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? k212 ????時 , ),2,1,0( ????k21 AA ??,21 AA ?合振動振幅最大。 55 播放動畫 振幅 tAtA 2c o s2)( 12?? ??， ,21 ?? ?振幅 A（ t） 隨時間 t緩慢地變化 “ 拍 ”現象，最大值為 2A。 )c o s ()(c o s)(c o s22212222122122???????????????tAAtAtAyxr60 ② . 相位相反，即： ， k 為奇數 ⑺ 則⑺式即為：合振動的軌跡為過原點，且在二、四象限的直線。 ? 利薩如圖形的應用：利用利薩如圖形的花樣判斷二分振動的頻率比，再由已知頻率測量未知頻率。 * 建立平面簡諧波波函數的方法，波函數的 物理意義 * 波的能量特征及計算 * 波的干涉的計算 * 駐波的特征和計算 68 1. 振動在空間的傳播過程叫做波動。 波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質點的傳播。 t= 3T/4 73 1. 波的傳播不是介質質元的傳播 。 74 橫軸 x表示波的傳播方向， yo xu坐標 x表示質點的平衡位置， 縱軸 y表示質點的振動方向， 坐標 y表示質點偏離平衡位置的位移。 77 三、描述波特性的幾個物理量 T： 傳播一個完整的波形所用的時間。 ?在各向同性均勻固體中 yo xu79 Y — 楊氏彈性模量 ? — 體密度 ?Yu ?縱固體中 ?Gu ?橫G — 切變模量 G Y —— ｕ 橫波 ｕ 縱波 , 地震時破壞性更大 流體中的縱波 0?ku ?縱弦上的橫波 ?Tu ? T —繩的初始張力 , ? — 繩的線密度 k ——容變彈性模量 80 ,1T??u5. T、 ? 、 ? 、 u 的關系 Tu?? ???? —— 表示波在空間的周期性 ?—— 表示波在時間上的周期性 u?通過波速 聯系起來 注意 :在討論彈性波的傳播時，要假設介質是連續(xù)的。 下面我們從運動學的角度出發(fā)來得到等振幅平面簡諧波的波動方程。 ，波動方程的標準形式應為： 22222tuyxy?????91 波函數應能描述波在空間任一點 、 任一時刻的位移 。 解： ① .原點 ??? ?uT /??T/2 ?? ? ?? /2 u?)c o s ( ?? ?? tAy5/2??oyxua bP??? ?t = 0 時 ， o點處的質點向 y 軸負向 運動 2/?? ?原點的振動方程為： ?????? ?? 252c o ?? ty oy??96 ③ . oytua bPP 點的振動方程 ??Px ??????? ??????? ??52c o ?? ty? ? ?????? ???2552c o ?? t④ . a、 b 振動方向，作出 ?t 后的波形圖。 ② 振動系統的機械能守恒，而波動過程中，能量不守恒。吸收的能量轉換為媒質的內能和熱。 ，介質任一點的振動為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。 )( 21 yy ?2y波動方程： 它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。 1r?2r?1S2Sp????? c o s2 212221 AAAAA119 21m a x AAAA ???2121m a x 2 IIIIII ????)(2)( 1212 rr ????? ????? ,c o s2 212221 ????? AAAAA1c os ?? ?當 時， 干涉相長 1c os ??? ?當 時， 干涉相消 || 21m i n AAAA ???2121m i n 2 IIIIII ????, . . . )3,2,1,0(,2 ???? kk ??即 )3,2,1,0(,)12( ?????? kk ??即 120 當兩相干波源為同相波源時，有： )(2)( 1212 rr ??????????此時相干條件寫為： 21 ?? ?,...3,2,1,0,21 ????? kkrr ??,...3,2,1,0,2)12(21 ?????? kkrr ??干涉相長 干涉相消 稱 為波程差 ? 初位相相同的兩個相干波源，在兩列波疊加的區(qū)域內，當波程差為零或波長的整數倍時，合振動的振幅最大，干涉相長；當波程差為半波長的奇數倍時合振幅最小，干涉相消。這種波稱為駐波。 駐波的特點：媒質中各質點都作穩(wěn)定的振動。 解： ??u? ?10010?5m1A ?r22B 2022 ??rA BPm205m1 Br? ? ??????? 2022 ????????ABAB rr?2 0 1??P點干涉減弱。稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現象。 —波的疊加原理。 五 .波的散射 如果介質中存在許多懸浮粒子，當波動傳到這些粒子后，這些粒子將成為新的波源向四周發(fā)射次級波，這一現象叫做波的散射。 ③ 在平衡位置時質元具有最大動能和勢能，在最大振幅處動能和勢能為零。 )32c o s ( ?? ?? ty解 ： ?? 32???o y3?其振動方程為： ]32)10(c o s [ ?? ??? xty波動方程： X=5(m)處，由旋轉矢量法可知， 2?? ?232)1050( ??? ????37?? ?即： 1）利用旋轉矢量法求出 O點的初位相為： o12)(cmysmu /10?5x (m) 98 o)(cmy) (m xsmu /10?125)3237c o s ( ?? ?? ty（ 2） O點的振動方程為： ]32)10(37c o s [ ?? ??? xty（ 3）波動方程： )(762 sT ??? ??例 5： 在 x=1m處有一波源發(fā)出平面簡諧波，波源的振動方程為： ， 波速為 U= m/s，求在 x1m區(qū)域的波動方程。 ? 抓住概念：某時刻某質元的相位 （ 振動狀態(tài) ） 將在較晚時刻于 “ 下游 ” 某處出現 。 83 右行波的波動方程 已知 O點振動表達式： )co s (0