【正文】 2. 間接法 用直接法計算量很大 , 還要考慮余項 , 由于冪級數(shù)的展開式是唯 一的 , 所以現(xiàn)在 利用一些已知函數(shù)的展開 式及冪級數(shù)的運算性質間接得到其它一些 函數(shù)的展開式 . 這就是間接法 . li m ( ) 0nn Rx?? ??125 高等數(shù)學 D 我們已掌握了以下函數(shù)的冪級數(shù)展開式 : ?? ?????? !!212nxxxe nx ),( ?????? ?????????)!12()1(!5!3si n1253nxxxxx nn),( ?????? ??????? )!2()1(!4!21c o s242nxxxx nn),( ????????0 !nnnx??????? 012)!12()1(nnnnx?????02)!2()1(nnnnx126 高等數(shù)學 D ?? ???????? nn xxxx )1(11 1 2)1,1(?)1,1(?x?1 1)1,1[?)1ln( x?)1,1(?2)1( 1x?)1ln( x?]1,1(? ?? ??????nxxx 21?? ??????? nxxxxn3232?? ?????? ? 12321 nnxxx?? ??????? ? nxxxxnn 132)1(32?????0)1(nnn x??????11)1(nnnnx????0nnx?????1nnnx?????11nnnx??127 高等數(shù)學 D 01 . ( ) l n ( 2 ) 0 f x x x? ? ?例 求 在 處 的 冪 級 數(shù)展開式 . 解 : ???????11)1()1l n(nnnnxx ]1,1(?)2(ln x? ln 2 1 2x????????ln 2 ln 1 2x??? ? ?????11l n 2 ( 1 ) ,2nnnnxn???? ? ? ??121 ??? x由 ( 2 , 2 ] .?得 收 斂 域 為128 高等數(shù)學 D 002 . ( ) ln 1 2 .f x x x x? ? ?例 在 與 處 展 開 冪 級 數(shù)解 : 0( 1 ) 1 ,x ?在 處0( 1 ) .nnnax????冪 級 數(shù) 形 如?xln l n [ 1 ( 1 ) ]x?? 11( 1 )( 1 ) .nnnxn??????? 1 1 1x? ? ? ?由 20 ??? x( 0 , 2 ] .所 以 收 斂 域 為]1,1()1()1l n(11 ????? ???? xnxxnnn129 高等數(shù)學 D 111ln 2 ( 1 ) ( 2 ) .2nnnnxn???? ? ? ???12 21 ???? x? 40 ??? x : ( 0 , 4 ]X?0( 2 ) 2 ,x ?在 處?xln )]2(2ln [ ?? x 2ln 2 ln 1 2x ???? ? ?????1112ln 2 ( 1 )2nnnxn??????? ? ??????0( 2 ) .nnnax????冪 級 數(shù) 形 如002 . ( ) ln 1 2 .f x x x x? ? ?例 在 與 處 展 開 冪 級 數(shù)]1,1()1()1l n(11 ????? ???? xnxxnnn130 高等數(shù)學 D 0213 . ( ) 0 .32f x xxx????例 在 處 展 開 冪 級 數(shù)解 : )2()1(1)(??? xxxf 11 ,12xx????01 ( 1 ) ,1nnnxx????? ? )1,1(??? x2 121121x??01 ( 1 ) ,22nnnx?????? ??????? )( xf0( 1 ) nnnx???? 10( 1 ) 2nnnnx??????101( 1 ) 1 ,2nnnnx?????? ? ??????)2,2(?),1(: ?X131 高等數(shù)學 D 0214 . ( ) 1 .32f x xxx????例 在 處 展 開 冪 級 數(shù)解 : ?)( xf 2111 ??? xx即展開成 x – 1 的冪級數(shù) . 121??? x 131??? x211121???? x011( 1 )22nnnx????????????011( 1 )33nnnx?????????????????????????02 )1()1(111nnnnn xxxxx ??)1,1(?311131???? x132 高等數(shù)學 D 11011( 1 ) ( 1 ) ,23nnnnnx??????? ? ? ??????12 1 ??x由 。 )( 0域內連續(xù)在其收斂冪級數(shù)的和函數(shù) ????nnn xaxS 0 ( ) 。nnux???對 而 言 它 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散01( ) ( ) ,nnu x C???若收斂點全體稱為它的收斂域 . 01( ) ,nnux???則 為 常 數(shù) 項 級 數(shù)01( ) ( ) ,nnu x D???若發(fā)散點全體稱為它的發(fā)散域 . 01( ) ,nnx u x???則 稱 為 的 收 斂 點01( ) ,nnx u x???則 稱 為 的 發(fā) 散 點 76 高等數(shù)學 D 對于 I 中的每一點 , 不是收斂點就是發(fā)散點 . 對收斂域內任一點 x, 函數(shù)項級數(shù)退化為 一收斂的常數(shù)項級數(shù) , 所以有一確定的和 S, 顯然 S 與 x 有關 , 由 x 惟一確定 . 所以收斂域上函數(shù)項級數(shù)的和是點 x 的函數(shù) , 記為 S(x), 1( ) .nnux??? 的 收 斂 域稱為函數(shù)項級數(shù)的 和函數(shù) , 其定義域就是 (注意 , 與一般項 un(x) 的定義域不同 ) 77 高等數(shù)學 D 同樣 , ),()(1xSnxu nnn 項部分和為的前記 ???則在收斂域內有 )()(lim xSxS nn ???( ) ( ) ( )nnr x S x S x??其 余 項, 在 收 斂 域 內 有 0)(li m ??? xr nn121( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n iiS x u x u x u x u x?? ? ? ? ? ?78 高等數(shù)學 D 21 : 1 nx x x? ? ? ? ?例 判 別 函 數(shù) 項 級 數(shù), .的 斂 散 性 并 求 其 收 斂 域 與 和 函 數(shù)解 ： ( , ) , ? ? ? ?級 數(shù) 的 定 義 域1?x1?x所以 的收斂域為 (?1, 1). ???0nnx.且 為 等 比 級 數(shù)x?11由前面的討論可知 當 時 , 這級數(shù)收斂于和 當 時 , 這級數(shù)發(fā)散 發(fā)散域為 ),1[]1,( ????? ?和函數(shù)為 x?1 1注意 : 和函數(shù)的定義域小于級數(shù)的定義域 . 79 高等數(shù)學 D 習題 7 — 3 (第 181 頁 ) 1. 判斷下列級數(shù)是否收斂 . 如果是收斂級數(shù) , 指出是絕對收斂 ? 還是條件收斂 ? 1( 1 )( 2 ) 。絕對收斂的級數(shù)必收斂。33nnnn???????????28 高等數(shù)學 D 4. 判斷下列級數(shù)的斂散性 : 1( 3 ) 。1 高等數(shù)學 D D 上海大學數(shù)學系 王培康 高 等 數(shù) 學 2 高等數(shù)學 D 本 課 程 教 學 內 容 第七章 無窮級數(shù) (第六節(jié)不要求 ) 第八章 微分方程 (第七節(jié)不要求 ) 第十章 多元函數(shù)微分學 (第六、七節(jié)不要求 ) 第十一章 重積分 (第三節(jié)不要求 ) 本 課 程 考 核 方 式 1. 期末考試 (半開卷，占總評成績 70%) 2. 平時考勤記錄 (占總評成績 30%) 3 高等數(shù)學 D 第七章 無窮級數(shù) 4 高等數(shù)學 D 無窮級數(shù)是高等數(shù)學的一個重要組成 部分 , 是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質以及 進行數(shù)值計算的一種有力工具 . (常 )數(shù)項級數(shù) 級數(shù) 冪級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù) 任意項級數(shù) 傅里葉級數(shù) (交錯級數(shù) ) 5 高等數(shù)學 D 第一節(jié) 無窮級數(shù)的基本概念和性質 一、無窮級數(shù)的基本概念 1. 定義 : 1 2 3, , , , , nu u u u?? ????? nuuuu 321則式子稱為 常數(shù)項無窮級數(shù) , 簡稱 常數(shù)項級數(shù) , 設給定一個數(shù)列 121nnnu u u u??? ? ? ? ??即1,nnu???記 作問題 : (即有沒有和數(shù) ) 其中 un 稱為級數(shù)的 一般項 (或 通項 ). 1?nnu??? 存 在 不 存 在或 無窮級數(shù) , 或 級數(shù) . 6 高等數(shù)學 D 2. 部分和數(shù)列 一數(shù)列中有限項相加總是有和數(shù)的 , 無限項相加是否有和數(shù) ? 可能有 , 也可能沒有 . 如何研究它 ? 通過有限項之和去認識和研究無限項之和 . 121nnnu u u u??? ? ? ? ?? ?? ??? ??nS定義 : 級數(shù)前 n項之和 : nn uuuS ???? ?21組成的數(shù)列稱為級數(shù)的 部分和數(shù)列 . 7 高等數(shù)學 D ???nkku1,11 uS ???? , 321 nn uuuuS ?????部分和數(shù)列 {Sn}： nn uuuS ???? ?21顯然 , ,212 uuS ?? ,3213 uuuS ???,11 Su ?其中 ,122 SSu ?? ?? , 1??? nnn SSu1{ } .nnnuS??? 的 部 分 和 數(shù) 列 就 是.}{1???nnn uS 來研究級數(shù)現(xiàn)通過研究部分和數(shù)列1{ } ,nnnuS???則 給 定 級 數(shù) 就 唯 一 確 定 一 個 部 分 和 數(shù) 列1, { } , ,nnnSu???反 之 給 定 一 個 數(shù) 列 也 唯 一 確 定 一 個 級 數(shù)1{ } .nnnuS??? 與 一 一 對 應8 高等數(shù)學 D 發(fā)散的級數(shù)沒有和 . 1,nnu???設 級 數(shù)1,nnu???則 稱 收 斂{ } ,nS對 應 的 部 分 和 數(shù) 列l(wèi)im ,nn SS?? ?若 存 在 極限值 S 稱為級數(shù)的和 . 12 nu u u? ? ? ?3. 級數(shù)的收斂和發(fā)散 定義 ： lim ,nn S??若 不 存 在1,nnu???則 稱 發(fā) 散1nnu??? ?( C ) ( D ) ?S9 高等數(shù)學 D ,n SS 是 和 的 近 似 值1( ) ,nnuC??? 時nSS?,nn S S? ? ?且 因 為 時,|| nn rSS 產生的誤差為近似代替用其差值 rn = 稱為級數(shù)的 余項 . .0?nr所以12nnuu??? ? ?10 高等數(shù)學 D qqa n???1)1(討論 等比級數(shù) (幾何級數(shù)