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[工學]第一章初等模型(完整版)

2025-03-25 02:24上一頁面

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【正文】 ,FF變 , 且 與車的質量 成正比 . F m 建模 由假設 2, 2d 再由假設 3, 在力 作用下行駛距離 作的功 使車速 F2Fd從 變成 , 動能的變化為 即 v 0 2 / 2,mv221 .2F d m v?又 由牛頓第二定律 ,Fm? ,F ma?22d kv?⑾ 11 .d t v??⑽ 再由上式得 其中 由假設 1剎車距離為 / 2 ,ka?21 .d t v kv?? ⑿ 為了將模型應用于實際,需要知道參數 的值 . 取 1,kt 1t的經驗估計值 而 用曲線擬合來得到 : , k車速 實際剎車距離 計算剎車距離 剎車時間 20 42 39 30 40 116 車速 實際剎車距離 計算剎車距離 剎車時間 50 173 60 248 70 343 80 464 利用表中的數據及 得 ,于是 1 ? ? 上表中的第三列的數據是由⒀式計算得到的 . 下圖給 20 .7 5 0 .0 6 .d v v?? ⒀ 出了實際剎車距離與計算剎車距離的比較 . 0 10 20 30 40 50 60 70 80050100150200250300350400450500vD 模型評價 按照上述模型可以將所謂“ 2秒準則”修正為“ 秒準則” , t即后車司機可以從前車經過某一標志開始默數 秒后到達 t同一標志 , 由下表給出 :(單位 : 英里) t t秒 車速 1 010 2 1040 3 4060 4 6080 問題二 農作物產量與施肥量關系 某研究所為了研究氮( N) , 磷( P) , 鉀( K)三種肥 料對土豆和生菜的作用 , 分別對每種作物都進行了三種試 驗 . 試驗中將每種肥料的施用量分為 10個水平 . 在考察其 中一種肥料的施用量與產量的關系時 , 總是將另外兩種肥 料的施用量固定在第 7個水平上 . 實驗數據如下表所示 , 其 中施肥量單位為公斤 /公頃 , 產量單位為噸 /公頃 , 試建立反 映施肥量與產量關系的模型 , 并從應用價值和如何改進等 方面作出評價 . 651 342 471 558 294 404 465 245 336 372 196 259 279 147 202 186 98 135 140 73 101 93 49 67 47 24 34 0 0 0 產量 施肥量 產量 施肥量 產量 施肥量 K P N 土豆數據 651 685 392 558 587 336 465 489 280 372 391 224 279 294 168 186 196 112 140 147 84 93 98 56 47 49 28 0 0 0 產量 施肥量 產量 施肥量 產量 施肥量 K P N 生菜數據 分析 我們希望建立農作物產量 與施肥量之間的函數關系 . W由于施用了 N、 P、 K三種肥料 , 若將 N、 P、 K既表示三種 肥料的名稱 , 同時又表示三種肥料的施用量 , 則考慮建立 三元函數 ( , , ) .W F N P K? 顯然這是黑箱模型 . 單憑目前的信息 , 我們無法得知上 線性函數 述函數究竟是哪一種形式 . 簡單的方式 , 可以考慮取 為 FW a N b P c K d? ? ? ?? ?, , , a b c d是常數 或者取二次函數 2 2 21 2 3 4 5W a N a P a K a N P a N K? ? ? ? ?6 7 8 9 1 0 ,a P K a N a P a K a? ? ? ? ?其中 是待定常數 . ? ?1 , 2 , ,1 0iai ? 通過給出的數據 , 可由最小二乘法擬合 , 從而確定上述 關系式中的待定系數 , 可得到農作物產量 W與施肥量之間 的函數關系 . 但這樣做有兩個疑問 : 隨意假定的線性函數 關系表達式、或者二次函數表達式能否有效描述農作物 產量與施肥量之間的關系? 首先考慮產量 W分別與三種肥料 N、 P、 K的一元函數關 系式 : 1 2 3( ), ( ) , ( ) ,W f N W f P W f K? ? ?然后分別確定獨立的每種肥料的最佳施肥量 , 最后通過分 析平衡 , 得出使得農作物產量最高的三種肥料的綜合最佳 施肥量 . 下列是幾種關系理論 一、 Nicklas & Miller理論(拋物線型關系) 20 1 2d ( ) , .dw a h x w b b x b xx? ? ? ? ?即 :其中 是最高產量時的施肥量 . h 二、米采利希學說(指數型關系) d ( ) ( 1 e ) .dcxw c A w w Ax?? ? ? ?即,其中 是某種肥料充足時的最高產量 , 由于 A0 0xw ? ? ,不施肥時產量為零 , 與實際情況不符 , 因為土壤中有天然 肥力 , 通??紤]天然肥力時 , 上述關系修正為 : ( 1 e ) .b c xwA ??? 三、博伊德觀點 :(分段直線關系) 某些情況下 , 若將施肥水平分為若干組 , 則各組對應的 “產量~施肥量”關系呈直線形式 . 例如若將施肥水平分成 兩組 , 則有如下分段直線的關系 : 0 1 10 1 1 2,0(), c c x x xwxb b x x x x? ? ??? ?? ? ?? 建模 現在我們根據上述專業(yè)理論 , 可設法將問題由“黑箱模 型” , 轉化為“灰箱模型” . 先通過散點圖大致估計確定施 肥量與產量效應關系的函數來建立模型 . 將六組實驗數據畫點圖 , 根據點圖的形狀確定生菜、土 豆產量分別與氮肥、磷肥、鉀肥的函數形式 . 點圖如下 : 0 200 40001020304050N ( x )土豆0 200 40001020304050P ( x )土豆0 200 400 60001020304050K ( x )土豆0 200 4000510152025N ( x )生菜0 200 400 6000510152025P ( x )生菜0 200 400 6000510152025K ( x )生菜 由上述點圖的形狀我們可以看到 : ⑴ 氮肥施用量對土豆、生菜產量的效應關系均為拋物線 型關系 , 函數關系可設為 221 0 1 2 2 0 1 2( ) , ( ) 。第一章 初等模型 在這一章中 , 我們介紹幾個初等模型及相應的求解方法 . 所謂初等模型 , 指的是該模型并不涉及高深的數學問題 , 用常用的數學工具即可求解此類問題 . 一、微積分方法尋找最優(yōu)點 問題一 鐵路線上 段的距離為 工廠 距 處 AB 100 km , C A 并且 (見下圖) 20km, .A C A B? 為了運輸需要 , 要在 上選定一點 向工廠修筑一條公路 . 已知鐵路每公里 AB ,D貨運的運費與公路每公里貨運的運費之比為 3:5,應選在何處 ? 問 點 D建模 設 km ,AD x?A BCDx20km則 10 0 ,D B x??24 0 0 .C D x??再設鐵路上貨運的運費為 3 / k m ,k 公路上貨運的運費為 5 / k m ,k 從 到 的總運費為 B C ,y 則 53y k C D k D B? ? ? ?? ? ? ?25 4 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 ,k x x x??? ? ? ? ? ??? 于是問題就歸結為求函數在閉區(qū)間上的最小值點 . 解模 用微積分方法 , 可先求 對 的導數 : y x25 3,400xykx??????????令 0 1 5 .yx? ? ? ? 又 ? ? ? ?0 4 0 0 , 1 5 3 8 0 ,y k y k??? ? 1100 500 1 300 ,25y k k? ? ?結論 : 當 15kmAD ? 時總運費最小 . 問題二 有一艘駁船 , 寬度為 5米 , 欲駛過一個河渠 . 該河 有一個直角彎道 , 河渠兩邊的直角彎道各寬 10米和 12米 . 試 問 , 要駛過這個河渠 , 駁船的長度不能超過多少米 ? 假設 ⑴ 不考慮河床的深度 , 整個駁船在河渠中行使都不會擱淺 。? . 建模 炮彈的速度可分解成水平和垂直兩個分速度 , 由假定 2, 水平方向的的分速度由于沒有阻力 , 所以是勻速運動 , 而 垂直方向的分速度
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