【正文】 與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系 . W由于施用了 N、 P、 K三種肥料 , 若將 N、 P、 K既表示三種 肥料的名稱 , 同時(shí)又表示三種肥料的施用量 , 則考慮建立 三元函數(shù) ( , , ) .W F N P K? 顯然這是黑箱模型 . 單憑目前的信息 , 我們無(wú)法得知上 線性函數(shù) 述函數(shù)究竟是哪一種形式 . 簡(jiǎn)單的方式 , 可以考慮取 為 FW a N b P c K d? ? ? ?? ?, , , a b c d是常數(shù) 或者取二次函數(shù) 2 2 21 2 3 4 5W a N a P a K a N P a N K? ? ? ? ?6 7 8 9 1 0 ,a P K a N a P a K a? ? ? ? ?其中 是待定常數(shù) . ? ?1 , 2 , ,1 0iai ? 通過(guò)給出的數(shù)據(jù) , 可由最小二乘法擬合 , 從而確定上述 關(guān)系式中的待定系數(shù) , 可得到農(nóng)作物產(chǎn)量 W與施肥量之間 的函數(shù)關(guān)系 . 但這樣做有兩個(gè)疑問(wèn) : 隨意假定的線性函數(shù) 關(guān)系表達(dá)式、或者二次函數(shù)表達(dá)式能否有效描述農(nóng)作物 產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系？ 首先考慮產(chǎn)量 W分別與三種肥料 N、 P、 K的一元函數(shù)關(guān) 系式 : 1 2 3( ), ( ) , ( ) ,W f N W f P W f K? ? ?然后分別確定獨(dú)立的每種肥料的最佳施肥量 , 最后通過(guò)分 析平衡 , 得出使得農(nóng)作物產(chǎn)量最高的三種肥料的綜合最佳 施肥量 . 下列是幾種關(guān)系理論 一、 Nicklas ＆ Miller理論（拋物線型關(guān)系） 20 1 2d ( ) , .dw a h x w b b x b xx? ? ? ? ?即 ：其中 是最高產(chǎn)量時(shí)的施肥量 . h 二、米采利希學(xué)說(shuō)（指數(shù)型關(guān)系） d ( ) ( 1 e ) .dcxw c A w w Ax?? ? ? ?即，其中 是某種肥料充足時(shí)的最高產(chǎn)量 , 由于 A0 0xw ? ? ，不施肥時(shí)產(chǎn)量為零 , 與實(shí)際情況不符 , 因?yàn)橥寥乐杏刑烊? 肥力 , 通?？紤]天然肥力時(shí) , 上述關(guān)系修正為 : ( 1 e ) .b c xwA ??? 三、博伊德觀點(diǎn) :（分段直線關(guān)系） 某些情況下 , 若將施肥水平分為若干組 , 則各組對(duì)應(yīng)的 “產(chǎn)量～施肥量”關(guān)系呈直線形式 . 例如若將施肥水平分成 兩組 , 則有如下分段直線的關(guān)系 : 0 1 10 1 1 2,0(), c c x x xwxb b x x x x? ? ??? ?? ? ?? 建模 現(xiàn)在我們根據(jù)上述專業(yè)理論 , 可設(shè)法將問(wèn)題由“黑箱模 型” , 轉(zhuǎn)化為“灰箱模型” . 先通過(guò)散點(diǎn)圖大致估計(jì)確定施 肥量與產(chǎn)量效應(yīng)關(guān)系的函數(shù)來(lái)建立模型 . 將六組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫點(diǎn)圖 , 根據(jù)點(diǎn)圖的形狀確定生菜、土 豆產(chǎn)量分別與氮肥、磷肥、鉀肥的函數(shù)形式 . 點(diǎn)圖如下 : 0 200 40001020304050N ( x )土豆0 200 40001020304050P ( x )土豆0 200 400 60001020304050K ( x )土豆0 200 4000510152025N ( x )生菜0 200 400 6000510152025P ( x )生菜0 200 400 6000510152025K ( x )生菜 由上述點(diǎn)圖的形狀我們可以看到 : ⑴ 氮肥施用量對(duì)土豆、生菜產(chǎn)量的效應(yīng)關(guān)系均為拋物線 型關(guān)系 , 函數(shù)關(guān)系可設(shè)為 221 0 1 2 2 0 1 2( ) , ( ) 。(0 . 1 ) 5 0 0 , 39。第一章 初等模型 在這一章中 , 我們介紹幾個(gè)初等模型及相應(yīng)的求解方法 . 所謂初等模型 , 指的是該模型并不涉及高深的數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 用常用的數(shù)學(xué)工具即可求解此類問(wèn)題 . 一、微積分方法尋找最優(yōu)點(diǎn) 問(wèn)題一 鐵路線上 段的距離為 工廠 距 處 AB 100 km , C A 并且 （見(jiàn)下圖） 20km, .A C A B? 為了運(yùn)輸需要 , 要在 上選定一點(diǎn) 向工廠修筑一條公路 . 已知鐵路每公里 AB ,D貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為 3:5,應(yīng)選在何處 ? 問(wèn) 點(diǎn) D建模 設(shè) km ,AD x?A BCDx20km則 10 0 ,D B x??24 0 0 .C D x??再設(shè)鐵路上貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為 3 / k m ,k 公路上貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為 5 / k m ,k 從 到 的總運(yùn)費(fèi)為 B C ,y 則 53y k C D k D B? ? ? ?? ? ? ?25 4 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 ,k x x x??? ? ? ? ? ??? 于是問(wèn)題就歸結(jié)為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值點(diǎn) . 解模 用微積分方法 , 可先求 對(duì) 的導(dǎo)數(shù) : y x25 3,400xykx??????????令 0 1 5 .yx? ? ? ? 又 ? ? ? ?0 4 0 0 , 1 5 3 8 0 ,y k y k??? ? 1100 500 1 300 ,25y k k? ? ?結(jié)論 : 當(dāng) 15kmAD ? 時(shí)總運(yùn)費(fèi)最小 . 問(wèn)題二 有一艘駁船 , 寬度為 5米 , 欲駛過(guò)一個(gè)河渠 . 該河 有一個(gè)直角彎道 , 河渠兩邊的直角彎道各寬 10米和 12米 . 試 問(wèn) , 要駛過(guò)這個(gè)河渠 , 駁船的長(zhǎng)度不能超過(guò)多少米 ? 假設(shè) ⑴ 不考慮河床的深度 , 整個(gè)駁船在河渠中行使都不會(huì)擱淺 。( ) .sin c o sf?????????該函數(shù)的零點(diǎn)并不容易求得 . 零點(diǎn) . ⑵ 我們用二分法求出該函數(shù)的 怎么辦？？？ 因 39。? . 建模 炮彈的速度可分解成水平和垂直兩個(gè)分速度 , 由假定 2, 水平方向的的分速度由于沒(méi)有阻力 , 所以是勻速運(yùn)動(dòng) , 而 垂直方向的分速度有地球引力 , 以重力加速度 減速 . 即 : g020x c o s ,1s in .2Vty V t g t?????????? 解模 在上式中消去 得到 ,t22( 1 ) ,y k x l k x? ? ?這里 20t a n , .2gklV???此即為問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模 型 . 由此模型可解決這兩個(gè)問(wèn)題 . ⑴ 炮彈發(fā)射后落地時(shí)縱坐標(biāo) 0,y ?即 22( 1 ) , ( 0) ,k x l k x x? ? ??2 .( 1 )kxlk??上式中求 對(duì) 的導(dǎo)數(shù) , 并令其為零 , 則有 x k222d 1 1 0 1 .d ( 1 )xk kk l k?? ? ? ??容易看到 : 1k? 為函數(shù)的極大值點(diǎn) , 即最佳角度滿足 ta n 1 ,k ???從而有 π .4? ?⑵ 由于炮彈擊中 米外的墻壁 , 即 2002 0 0 ,x ?此時(shí)有 2220 0 ( 1 ) 20 0 ,y k l k? ? ? ?要獲得最大高度 , 仍然是一個(gè)極值問(wèn)題 , 故上式對(duì) 求導(dǎo) , k并令其為零 , 則有 d 2 0 0 8 0 0 0 0dy lkk? ? ?有 1 .400kl?注意到 221400d8 0 0 0 0 ,dklylk?? ? ?此說(shuō)明當(dāng) 1400kl?時(shí) , 取最大值 , 相應(yīng)的最大高度為 y1 400004yll??米 . 這里 20.2glV?二、最小二乘法與數(shù)據(jù)擬合 給定平面上 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) n ? ?,iixy我們將尋找曲線 ? ? ,y f x?使誤差盡可能的小 . 即使 ? ?? ? 21niiif x y???為最小 . 一個(gè)最為簡(jiǎn)單的情況是 : 函數(shù) ? ?y f x?為線性函數(shù) , 即 .y a x b??⑷ 此時(shí)⑷為 21( ) .niiiy a x b????⑸ 記 ? ? 21, ( ) ,niiiF a b y a x b?? ? ??⑹ 則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍? **,ab使 ? ?* * 21, m in ( ) , R .niiiF a b y a x b a b???? ? ? ??????⑺ 由多元函數(shù)的極值條件知 **,ab應(yīng)滿足方程 112 ( ) 0 ,2 ( ) 0 ,ni i iiniiiFy a x b xaFy a x bb????? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ????⑻ 容易得到⑻的解為 * 1 1 122111*11,1.n n ni i i ii i i