【正文】 ? 周期單位脈沖序列 d N[k] ? 正弦型序列 ? 周期矩形波序列 ? DFS的性質(zhì) 一、 DFS的定義 mkNNmN WmXNmXI D F Skx?????? ][~1])[~(][~10mkNNNkN WkxkxD F SmX ][~])[~(][~ 10?????IDFS DFS 且有式中 ,2NjN eW???????????10 NlklNW0 k不是 N的整數(shù)倍 N k是 N的整數(shù)倍 ][~ kNNd?DFS的物理含義 1)周期為 N的任意序列可分解為基本序列 {exp(2?km/N 。 ]s in)([ 0 ttfF ?)]([21)]([21 00 ???? ???? jFjF)]([2)]([2 00 ???? ???? jFjjFj同理 ] )([2 1])([2 1 00 jj tt etfFjetfFj ?? ?? [例 2] 試求矩形脈沖信號 f(t)與余弦信號 cos?0 t相乘后信號的頻譜函數(shù)。 常見連續(xù)時間信號的頻譜 ? 常見非周期信號的頻譜 (頻譜密度 ) ? 單邊指數(shù)信號 ? 雙邊指數(shù)信號 e?|t| ? 單位沖激信號 d(t) ? 直流信號 ? 符號函數(shù)信號 ? 單位階躍信號 u(t) ? 常見周期信號的頻譜密度 ? 虛指數(shù)信號 ? 正弦型信號單位沖激序列 1. 常見非周期信號的頻譜 (1) 單邊指數(shù)信號 ， 0)()( ?? ? ?? tuetf tdtetfjF t? ??? ?? ?? j)()(幅度頻譜為 22)(????aAjF相位頻譜為 )()( aa r c t g ??? ??dtee tt ?? j0 ?? ???????jajae t???????? 10)()j(單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜 t01)( tf?0?/1)(?F?0)(??2/?2/??(2) 雙邊指數(shù)信號 ea|t| ? 幅度頻譜為 t d tet d ttfjF t ??? ? co s2co s)(2)( 00 ?? ? ?? ??222)(?? ?? aajF0)( ???222220)c oss i n(2???????????? ?aaatate t相位頻譜為 a0 (3) 單位沖激信號 δ(t) 單位沖激信號及其頻譜 dtetdtetftF tjtj ?? ??? ???? ? ?? ?? dd )()()]([1?0t)( td)1(0?1)( ?F(4) 直流信號 直流信號 不滿足絕對可積條件 ,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。 兩者關系： nT TCjF ??? li m)( ?0)(???nn TjFC??)(lim)( tftf TT ??? tnTeC 0 j=nn l i m???????—tnTejF 0 j0=n 2)(lim ??????????—? ???? ??? ? dejFtf tj)(2 1)(物理意義：非周期信號可以分解為無 數(shù)個頻率為 ?， 復振幅為 [F(?)/2?]d? 的復指數(shù)信號 ej? t的線性組合。 2?2??T?AtT)( tfT[解 ] 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為 )2( 0 ??? nSaTAC n ?將 A=1， T=1/4， ?=1/20， ?0=2?/T=8? 代入上式 )5/()40/( 0 ?? nnC n ??2nC0?n8 ??40?40?251)5/( 22 ?nC n ?功率譜 信號的平均功率為 包含在有效帶寬 (0~2?/?)內(nèi)的各諧波平均功率為 ?? ???41=n20244=n201 |)(|2)0( |)(| ?? nCCnCP—?%902 0 1 8 0 ??PP)(1 2/ 2/ 2 ?? ??T T dttfTP周期矩形脈沖信號包含在有效帶寬內(nèi)的各諧波平均功率之和占整個信號平均功率的 90%。 ? f(t)不連續(xù)時， Cn按 1/n的速度衰減 ? f’(t)不連續(xù)時， Cn按 1/n2的速度衰減 注意：不等于單調(diào)衰減 如矩形方波 如三角方波 (3)信號的有效帶寬 ? 0~2? /? 這段頻率范圍稱為 周期矩形脈沖 信號的有效頻帶寬度 ,即 ??? 2?B 信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間 ?成反比。 因此該信號含有正弦各次諧波分量，直流分量。 t)( tf2 2 0 ?? 1?解 : 該周期信號 f (t)顯然滿足狄里赫勒的三個條件， Cn存在 )(21)(1 100122000 dttedttedtetfTCtjntjnTTtjnn ???????? ???? ???)(2 1 10100 10 100000 dtetedtetejntjntjntjntjn ?? ?????? ???? ?????)1( co s)( 1 2 ?? ?? nn ??? ??T20t)12(=20])1[(22 21 ??????? ??? mjmem周期三角脈沖信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開式為 ) R e (2)( 0j10tnnneCCtf ??????由 周期三角脈沖信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為 tjnn eCtf 0=n )( ??????tnmtfm01=2 c o s])1[(24 21)( ???????????????0,2/1,)/(2)1( c o s)(1 22 nnnnnC n 為奇數(shù)????????? ttt 020202 5c o s25 43c o s9 4c o s421 ??????1. 線性特性 nn CtfCtf 2211 )( , )( ??若nn CaCatfatfa 22112211 )()( ???????則有2. 時移特性 )( nCtf ?若ntjn0 Cett f 00)( ????則有 三、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì) |||| nn CC ??則 nn ??? ??(1)若 f(t)為實信號 若 f1(t)和 f2(t)均是周期為 T0的周期信號，且 nn CtfCtf 2211 )( , )( ??nn CCTtftf 21021 )(*)( ??則有4. 微分特性 )( nCtf ?若nCjnt f 0)(39。 (2) 從系統(tǒng)分析角度 ，已知單頻正弦信號激勵下的響應，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應 ,而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強一目了然。 20a22 nnn baA ?????????? ??nnn aba r c t g?例題 1 試計算圖示周期矩形脈沖信號的傅立葉級數(shù)展開式。 t)( tfT /2T /2(5) 半波鏡像信號 fT(t)=?f(t177。反之， T越小， ω 0越大，譜線則越疏。 周期信號的功率頻譜： |Cn|2 隨 n?0 分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱 功率譜 。 連續(xù)非周期信號的頻譜 ? 從 傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 ? 頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別 ? 傅里葉反變換 ? 非周期矩形脈沖信號的頻譜分析 1．從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 討論周期 T增加對離散譜的影響： 周期為 T寬度為 ?的周期矩形脈沖的 Fourier系數(shù)為 )2(Sa 0 ??? nTAC n ?nTnTTCfC????? limlim0)( ?jF?dtetfTCTTtnTn ???? 22 j 0)(1 ?dtetfTdtetfTC tTTTtnTTnT ???????????????? ?? j22 j )(1lim)(1limlim 0dtetfTCjF tnT ????????? ?? j)(lim)(物理意義 : F(j?)是單位頻率所具有的信號頻譜， 稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。 5. 脈沖寬度 ?越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。 0A2?t2??)( tf0At)(1 tf?T?[解 ] 無延時且寬度為 ?的矩形脈沖信號 f(t) 如右圖， )2()( ???? SaAjF ??Tj1 )()( ??? ejFjF ?)()(1 Ttftf ??Tj)2(???? eSaA ??因為 故，由延時特性可得 其對應的頻譜函數(shù)為 4. 展縮特性 ? 證明 : )()( ?jFtf ? ??若)(1)(ajFaatf ?? ??則dteatfatf