[理學(xué)]線(xiàn)性代數(shù)4-1矩陣的運(yùn)算(完整版)
【正文】 1 / 40 1 0 1 / 2~0 0 1 1 / 40 0 0 0r????????????1 2 3( , , )A a a a? 1 2 3( , , , )B a a a b?四、向量組的 線(xiàn)性 表示與等價(jià) 定義 1 2 1 2: , , , 。 : , , ,msB? ? ? ? ? ? ?LL ；兩個(gè)向量組 若向量組 B 中每個(gè)向量都可由向量組 A 線(xiàn)性 表示 ，則 稱(chēng)向量組 B 能由向量組 A 線(xiàn)性表示 . 若向量組 B 與向量組 A 能 相互 線(xiàn)性表示 ， 則稱(chēng)向量組 B 與向量組 A等價(jià) . mmjjjj kkkb ??? ???? ?2211 ,),2121???????????????mjjjmkkk?? ???（使得 存在數(shù) 向量組 B 能由向量組 A 線(xiàn)性表示 ，即對(duì)每個(gè)向 量 若記 1 2 1 2, , , ) , , , , )msAB? ? ? ? ? ??? LL（ （jb 12, , ,j j m jk k kL從而 ()m s i jKk? ?矩陣 稱(chēng)為線(xiàn)性表示的 系數(shù)矩陣 向量組 B 能由向量組 A 線(xiàn)性表示 ?B 中每個(gè)向量都可由向量組 A 線(xiàn)性表示 ? 存在系數(shù)矩陣 K， 使得 B=AK ? 矩陣方程 AX=B有解 ? R(A)=R(A,B) 向量組 B 與向量組 A 等價(jià) ? 矩陣方程 AX=B和 BY=A都有解 ? R(A)=R(A,B)=R(B) 舉例 110223?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，100010001? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ，能由 但不等價(jià) . 線(xiàn)性表示， (1) 1 1 10 1 , 10 0 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，100010001? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ，與 等價(jià) . (2) 1201: 1 , 110A a a? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 31 1 3: 0 , 2 , 21 1 1B b b b?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?已知向量組 證明：向量組 A與向量組 B等價(jià) . 和 (3) 12( , )A a a? 1 2 3( , , )B b b b?證 ：令 0 1 1 1 3( , ) 1 1 0 2 2 ~1 0 1 1 1rAB???????? ???1 0 1 1 10 1 1 1 30 0 0 0 0??????????0 1 1 1 3( , ) 1 1 0 2 2 ~1 0 1 1 1rAB???????? ???1 0 1 1 10 1 1 1 30 0 0 0 0??????????( ) 2RB??( ) ( )
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