【正文】 miltonian算符不顯含 t， ()式有以下形式解 1 0 1 0 ( )? ?( , ) e xp[ i ( ) ] ? ? ?( ) ( , 0) e xp( i )U t t H t tU t U t Ht? ? ? ???? ? ???12 Heisenberg圖像 在下面 ， Schr246。 假設(shè)力學(xué)量算符不顯含 t，即 ?0SFt? ? ?利用 ()式， 有 ? ?? ? ? ? ? ? ?d d ( ) ( )H S SF t U t F U U F U t? ? ? ? ? ?15 我們有 ? ?? ? ? ? ? ?i , iSSU t H U U t U H? ? ? ? ? ? ?利用 ()式，即 ? ?? ? ? ??? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?d d ( ) i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ]? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ] ( 1 i ) [ , ] H S S S SS S S SH H H H HHSUUH H HF t U H F U U F H UU F U U H U U H U U F UF H H F F H???? ? ????????????16 (1d1? ? ?( ) [ , . 1 1] )di HHF t F Ht ?總之，在 Heisenberg圖像中，態(tài)矢不隨時間演化，而力學(xué)量算符是隨時間演化的， 其演化的方式遵守 Heisenberg方程。例如，在三種圖像中，算符之間的對易關(guān)系不會變，算符的平均值不會變，態(tài)矢之間的內(nèi)積不會變，測不準關(guān)系不會變，等等。顯然上升算符和下降算符互為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，即互為厄米共軛。 45 1. 受激吸收幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時刻處在 |b, n+1 的狀態(tài) , , 1, , 1( 0) ( 0) , ( 0) , 1 , 1( 0) 0 , ( 0) 1Ia n b na n b nC a n C b nbnCC????? ? ?????即初始時刻系統(tǒng)中的原子處于下能級而光場有 (n+1)個光子。 體積 V內(nèi)從頻率 Ω～ (Ω+dΩ)之間的光頻范圍內(nèi)的模式數(shù)為 （ 已考慮到兩種偏振狀態(tài) ） 323 2 332d4 π dddd ( ) 2(2 π ) πk k kkcV k VNc???? ??? ?????? ?52 所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為 2( 1 )sp, tot a l ,sp2 222 02 2 30222002 3 20002( ) d ( )si n [ ( ) 2] d[ ( ) 2] πsi n [ ( ) 2]2d [ ( ) 2]π [ ( ) 2]antP C t Nt VgttctVg ttct ???? ??????? ? ???????????????????53 令 x=(Ωω0)t/2，考慮到被積函數(shù)中 (sinx/x)2是一個在 x=0 (即 Ω=ω0)附近的尖峰函數(shù)，且被積函數(shù)在 Ωω0的區(qū)域上積分貢獻近似為零，因此對被積函數(shù)中的 Ω2項取近共振近似 Ω=ω0并提出積分號之外。 64 激光器的庫理論 本節(jié)將講述激光器的全量子理論。此種求解方法只適用于微擾情形，故被稱為“微擾方法”。dinger圖像下的表達式是一樣的 ，下面符號表達上已經(jīng)去掉上標(biāo) I） 總密度算符的求解 ? ?af ??0?(? ? ? ?[ ] 7 5.0)?aH g a a ga????? ? ? ????78 原子的一般狀態(tài) |φ用它的能量本征態(tài) |a和|b展開為 原子的密度算符為 22( ) , 1101 0 , 0 101aa b a bbCt C a C b C CCa a b b a b???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?2a 2? a a baabb b a bC C CCCCC C C C? ? ???????????? ? ????? ??79 增益原子初始時刻處于上能級 ， 即有 |φ(t0) =|a， 因此初始時刻的密度算符為 ? ?a0 1 1 0? ( ) 1 ( 5 .8 )0 0 0 0t a a? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是初始時刻場與原子整體系統(tǒng)的密度算符為 f0a f 0 f 0 a 0? ( ) 0? ? ? ( 5 .9( ) ( ) ( )) 00tt t t?? ? ? ???? ????80 于是把 ()和 ()式代入 ()式 ， 可以求出各級近似 。 假設(shè)λa和 λb分別代表單位時間內(nèi)注入到相互作用區(qū)域中的增益原子和損耗原子數(shù)量 。 有了這些準備 ， 我們來分析 ()或 ()’式右邊各項的物理意義 。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??103 輻射場的平均光子數(shù)及其隨時間的變化為 ( 5 .2 4 )( 5 ., d d dd25)ln n n nnnlnnnnnntntnn?????????把 ()式代入 ()式右端 ， 并利用 ()式 ， 可得 2d ( ) [ 2 1 ]dn A C n A B n nt ? ? ? ? ? ?104 在激光器中 ， 當(dāng)泵浦速率超過閥值時 ， 腔內(nèi)光子數(shù)急劇增加 ， 使得 n2遠大于 n， 于是上式可簡化為 2 ( 5 . 2 6d ( ) d ) n A C n A B nt ? ? ? ?由于光強 In與平均光子數(shù) n成正比 ， 上式可與半經(jīng)典理論中得到的單模場運動方程相比較
。n=0時 ， 第 4項不等于零 ， 表示處于真空態(tài)|0的場 ， 由于增益原子自發(fā)發(fā)射而躍遷到態(tài) |1， 因此 系數(shù) A是與自發(fā)發(fā)射有關(guān)的量 。這種近似帶來方便，但是不能描述場的某些噪音。 可看出偶次近似的非對角元為零 ， 奇次近似的對角元為零 。以 {|am, fn }為基矢組，則一個 只與場相關(guān)的算符 平均值為 75 其中注意到與場相關(guān)的算符只作用于場的本征態(tài) ， 因而可以與原子的本征態(tài)互換位置 。因而庫可以等效地由位于上能級的激活原子和位于下能級的損耗原子組成，前者模擬激光振蕩中的增益機制，其中包含了外界泵浦的作用；后者模擬激光振蕩中的損耗機制，把一切損耗都等效為損耗原子對激光的吸收作用 。當(dāng)相互作用項很強時，就只能用非微擾方法求解。 2. 受激發(fā)射幾率和自發(fā)發(fā)射幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時刻處在 |a, n 的狀態(tài)，即原子處于上能級而光場有 n個光子的狀態(tài) , , 1( 0 ) , ( 0 ) 1 , ( 0 ) 0Ia n b na n C C? ?? ? ??同理，對 ()式的第二式積分，且取一階微擾近似，有 48 , 1 , 00( 1 ) 0,10, ( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]1 e x p [ i ( ) ]( ) 1tb n a nbnanCtC t g n t C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ???????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |a, n 態(tài)躍遷到 |b, n+1態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 4() )antC t g n ????????由于初始光場的光子數(shù)為 n，故上式右端可分為跟初始光場中 n個光子相關(guān)的部分和跟n個光子無關(guān)的部分，即 49 22( 1 ) 2 0, 2st022( 1 ) 2 0, 2sp0s i n [ ( ) 2]( ) 4() s i n [ ( ) 2]( ) 4(( ))anantC t g ntC t g????????? ?????????? ??()中第一式與初始光場的光子數(shù) n成正比，是 n個光子誘發(fā)的受激發(fā)射 (stimulated emission)幾率， n=0時該幾率為 0；第二式跟初始光場的光子數(shù)無關(guān)，即使初始光場處于光子數(shù)為 0的真空態(tài)，該項仍然存在，故屬于自發(fā)發(fā)射 (spontaneous emission)幾率。 ??a??? ?a??? ?a ?? ?? ?a ?35 我們考慮的是由光場和原子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，無外界作用，為了滿足能量守恒，相互作用項只能取為： ? ?af? ? ? ? ( ) )?( H g a a????綜上所述，在全量子化理論下，由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量算符為 ?? ?? ?? ? ?( 1 2)? ? ? ? ? ? ? ? ( )( 2. 14 )abH a ag a a?? ? ? ? ? ?????????36 相互作用圖像下的相互作用能 在上面得到的由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總哈密頓算符中，前兩項對應(yīng)系統(tǒng)的自由項（定態(tài)哈密頓算符），第三項對應(yīng)相互作用項（微擾項），即有 0 a f? ? ?0? ?af? ? ?? ? ? ? ? ? ?( 1 2 )? ? ? ?( 2 .1 5 )?()abH H HH a aH g a a? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ???????37 因此，采用相互作用圖象時，變換算符為 00? ? ?? ?( ) e x p ( i ) ( 2 . 1 6 ? ? ? ? ? ?i [ ( 1 2 ) ])e x p { }abU t H tt a a? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?10100? ( ) ( ) ? ? ? ?( ) ( ) (( ))ISISU t tF t U t F U t?? ??? ??????前面已經(jīng)講過，相互作用圖象下的態(tài)矢和算符可由 ()式得到 38 我們考慮的系統(tǒng) 其狀態(tài)由光場狀態(tài)和原子狀態(tài)共同決定（光場狀態(tài)用單模光子數(shù)態(tài) |n描述，原子狀態(tài)用上下能級本征態(tài) |a和 |b描述）。 0? ?SSHH?? SH?23 輻射場與原子的相互作用 Schr246。 17 當(dāng)一個量子系統(tǒng)的 Hamiltonian算符可以分解成兩部分 ： 相互作用圖像 0? ? ? ( 1 .1 2 )S S SH H H ???其主要部分 不含時間（通常是自由部分），而微擾部分 只對系統(tǒng)產(chǎn)生較小的影響（通常是相互作用部分），這時就可以采用相互作用圖像。 在Heisenberg圖像中 ， 力學(xué)量平均值隨時間的演化 ， 完全歸之于力學(xué)量算符隨時間的演化 ， 而態(tài)矢保持不變 。dinger圖像；反之，全都歸之為 力學(xué)量算符隨時間的演化而態(tài)矢保持不變，得到 Heisenberg圖像；部分歸之為態(tài)矢變化，部分歸之為算符變化，則是相互作用圖像。如果把 力學(xué)量平均值和概率分布隨時間的演化，全都歸之為態(tài)矢隨時間的演化，而力學(xué)量算符不隨時間演化，這種描述方式就是 Schr246。dinger圖像 和 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符分別帶有上標(biāo) S和 H。 于是，我們得到在 Heisenberg圖像下，力學(xué)量算符隨時間演化的 Heisenberg方程。如果對未微擾系統(tǒng)（ ）已經(jīng)有充分了解，加上微擾 之后，取相互作用圖像是合適的，此時算符的運動方程由未微擾系統(tǒng)的 Heisenberg方程來描述，它的解是熟悉的、已知的，而態(tài)矢量