【正文】 ? NURBS方法 ? NURBS特點 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS方法 ? NURBS方法是建立在非有理 B233。 – 當所有權(quán)因子都為 1時得標準 B樣條曲線 。 ? 解決這一問題的途經(jīng)顯然應(yīng)該是改造現(xiàn)有的 B樣條方法 ， – 保留 其 描述自由型形狀長處 ， – 擴充其統(tǒng)一表示二次曲線弧與二次曲面的能力 。 – B樣條曲線 (面 )包括其特例 B233。 – 例如 ， 有理 B樣條曲線可用向量描述為： P(u)=(∑ωkPkBk,d(u))/(∑ωkBk,d(u))。 ? 這使圖形包能 用一個表達式 (有理樣條 )來 模擬所有曲線形狀 ， 無需用一個曲線函數(shù)庫去處理不同的形狀 。 ? 1991年 ISO正式頒布的 STEP標準中 NURBS是唯一的自由型參數(shù)曲線曲面表示方法 。zier形式合適的推廣 。 ? 正因為多了權(quán)因子與分母 ， 問題變得復(fù)雜 。 ? 首末權(quán)因子 ω0,ωn0， 其余 ωi≥0， 以防止分母為零 、 保留凸包性質(zhì)及曲線不致于權(quán)因子而退化為一點 。zier曲線端點幾何性質(zhì)； ? 如果權(quán)因子 ω1,ωn1≠0， 曲線首末端點分別就是控制多邊形首末頂點 ， 曲線在首末端點處分別與控制多邊形首末邊相切 。 ? 變差減少性質(zhì)： ? 平面內(nèi)任一直線與 B樣條曲線的交點各數(shù)不多于該直線與曲線控制多邊形的交點數(shù)目 。 – ad及所分四線段都應(yīng)理解為有向線段 → 所取長度為代數(shù)長 。 ? 這表明： 這一簇 NURBS曲線上參數(shù) u值相同的點都位于同一直線上 。 ? 可以證明： p點和 n點分直線段之比就是形狀因子 。 ? ωi→+∞ 時 ， p趨近與控制頂點 Pi重合 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新定位控制頂點 ? 最簡單的形狀修改方法是移動控制頂點 。 ? ? ? ? ? ?? ?? ? cPPuRcppsuRcPuRPpikinjikjjkii??????????? ???39。 ? 當插入新節(jié)點時 ， 將有 k1個老控制頂點被包括 p’在內(nèi)的k個新控制頂點所替代； ? 若含有重節(jié)點 ， 則生成新頂點與被替代的老頂點都相應(yīng)地減少 。 ? 這可由重新確定相應(yīng)的權(quán)因子 ωi使之改變?yōu)?ωi*來達到： ωi* =ωi {1+[s/(Ri,k(u)(|pPi|s))]}； ? s取有向距離：若 p*在 p和 Pi之間 ， 即曲線被拉向頂點 Pi， 則 s為正；反之 s為負 。 ? 重復(fù)這一過程 ， 直到定義區(qū)間內(nèi)包括兩端節(jié)點在內(nèi)的節(jié)點數(shù)目等于 k+2為止 。 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ??minjljkijiminjljkijijivBuBvBuBPvuP0 0,0 0,??一張 k l次 NURBS曲面 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面有理基函數(shù)表示 這里： Ri,k,j,l(u,v)是雙變量有理基函數(shù) 。 ? 該定義域被其內(nèi)節(jié)點線劃分成 (mk+1) (nl+1)個子矩形 。 它們都是 NURBS曲面的特例 。ωi,j=1)； ? p=P(u,v。zier曲線 均勻 B樣條曲線 非均勻 B樣條曲線 凸包性 √ √ √ 插值控制頂點 √ √ 增加節(jié)點的重數(shù)可以使曲線插值控制頂點 離散生成方法 較好 好 一般 計算復(fù)雜 連續(xù)性 C1,GC1 C1,GC1 C2,GC2 C2,GC2 控制形狀的參量 端點位置與切矢量 控制頂點 控制頂點 控制頂點與節(jié)點 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 曲線性質(zhì)比較 ? 曲線相互轉(zhuǎn)換 三次參數(shù)曲線轉(zhuǎn)換 ? 三次 Hermite曲線 、 B233。U； 三次 B樣條曲線可用矩陣表示為： P(u) =GBiMH=GBiMBEZMH = GH=GBi ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 曲線性質(zhì)比較 ? 曲線相互轉(zhuǎn)換 。M1H。MBEZ=GBiMH Ui。 不同的表示適用于不同的應(yīng)用場合 ， 并且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 。 可得到 : (Pi,jn/nm)/(Pi,jp/pm)=ωi,j m n p P 1,1 ? 即： ωi,j等于 Pi,j、 n、 p、 m四共線點的交比 ， ? 且可推斷出： ? 當 ωi,j增大時 ， 曲面被拉向控制頂點 Pi,j； ? 反之 ， 被推離控制頂點 Pi,j； ? 當 ωi,j變化時 ， 相應(yīng)得到沿直線 Pi,jm移動的 p點； ? 當 ωi,j趨向無窮大時 ， p點趨向與控制頂點 Pi,j重合 。 ? 與非有理 B樣條曲面一樣 ， NURBS曲面也可按所取節(jié)點矢量沿每個參數(shù)方向劃分為四種類型 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS基函數(shù)性質(zhì) ? 有理雙變量基函數(shù) Ri,k,j,l(u,v)具有與非有理 B樣條基函數(shù)Bi,k(u)、 Bj,l(v)相類似的函數(shù)圖形與解析性質(zhì)： ? 局部支撐性質(zhì)： ? u不在區(qū)間 [ui,ui+k+1]內(nèi)或 v不在區(qū)間 [vi,vj+l+1]內(nèi)時 , Ri,k,j,l(u,v)=0； ? 規(guī)范性： ∑∑Ri,k,j,l(u,v)=1； ? 可微性：在每個子矩形域內(nèi)所有偏導(dǎo)數(shù)存在 。 一張 k l次 NURBS曲面 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ???mrnslskrsrljkijilkjiminjlkjijivBuBvBuBvuBvuBPvuP0 0,0 0,??☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面齊次坐標表示 ? Di,j=[ωi,jPi,j ωi,j]稱為控制頂點 Pi,j的帶權(quán)控制頂點或齊次坐標 。因此 ， 就可