【正文】 ′ O ′ y ′中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段保持平行性不變，平行于 x 軸( 或在 x 軸上 ) 的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸 ( 或在 y 軸上 ) 的線段長(zhǎng)度減半． 3 ．柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積與體積 (1) 表面積公式： ① 圓柱的表面積 S ＝ 2 π r ( r ＋ l )( 圓柱的底面半徑為 r ，母線長(zhǎng)為 l ) ； ② 圓錐的表面積 S ＝π r ( r ＋ l )( 圓錐的底面半徑為 r ，母線長(zhǎng)為 l ) ； 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 1 ＋ 22179。 2 179。數(shù)學(xué) (理科 ) 【解析】 (1) ∵ 在圖 1 的等腰梯形 PDCB 中， DA ⊥ PB ， ∴ 在四棱錐 P — ABC D 中， DA ⊥ AB . 又 PA ⊥ AB ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD ， 又 DC ∥ AB ， ∴ DC ⊥ 平面 PAD . ∵ DC ? 平面 PC D ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PCD . (2) ∵ DA ⊥ PA ，且 PA ⊥ AB ， ∴ PA ⊥ 平面 ABCD ， 又 PA ? 平面 PAB ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 . (1) 證明： AB ⊥ A 1 C ； 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 則 A (0 ，－ 1 ， 0) ， B ( 3 ， 0 ， 0) ， A 1 (0 ， 0 ， 3 ) ， C (0 ，1 ， 0) ， B 1 ( 3 ， 1 ， 3 ) ， ∴ AA 1→＝ (0 ， 1 ， 3 ) ， AB 1→＝ ( 3 ， 2 ， 3 ) ， AC→＝ (0 ， 2 ，0) ． 設(shè)平面 AB 1 C 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， 1) ， 則??? n 178。數(shù)學(xué) (理科 ) 【問題引領(lǐng)】 1 ． 關(guān)于直線 a ， b ， l 以及平面 α ， β ，下列命題中正確的是 ( ) ． A ．若 a ∥ α ， b ∥ β ，則 a ∥ b B ．若 a ∥ α ， b ⊥ a ，則 b ⊥ α C ．若 a ⊥ α ， a ∥ β ，則 α ⊥ β D ．若 a ? α ， b ? β ，且 l ⊥ a ， l ∥ b ，則 l ⊥ α 【解析】 A 中兩條直線可能異面； B 不正確； C 滿足 “ 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線 ，則兩個(gè)平面互相垂直 ” ；D 中 l 可能在平面 α 內(nèi)． 【答案】 C 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 2 ． (2022 湖南卷 ) 已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方形，則該正方體的正 ( 主 ) 視圖的面積 不可． ．能．等于 ( ) ． A ． 1 B. 2 C.2 － 12 D.2 ＋ 12 【解析】正 ( 主 ) 視圖轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形 A 1 ACC 1 的正投影，設(shè) A 1 C 1的正投影長(zhǎng)為 l ，則 S ＝ 1 179。 AB1→＝ 3 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 ，n 178。數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 若平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B ， AB ＝ CB ，求直線 A 1 C 與平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值． 【解析】 (1) 取 AB 的中點(diǎn) O ，連接 OC ， OA 1 ， A 1 B . 因?yàn)?CA ＝ CB ，所以 OC ⊥ AB . 由于 AB ＝ AA 1 ， ∠ BAA 1 ＝ 60 176。數(shù)學(xué) (理科 ) ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 ABCD . 過 M 作 MN ⊥ AB ，垂足為 N ， 則 MN ⊥ 平面 ABCD . 在等腰梯形 P DCB 中， DC ∥ PB ， PB ＝ 3 DC ＝ 3 ， PD ＝ 2 ，DA ⊥ PB ， ∴ PA ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， AD ＝ PD2－ PA2＝ 1. 設(shè) MN ＝ h ，則有 V M — ABC ＝13S △ ABC 178。 1 179。 1 179。數(shù)學(xué) (理科 ) ③ 圓臺(tái)的表面積 S ＝π ( r ′2＋ r2＋ r ′ l ＋ rl )( 圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為 r ′、 r ， 母線長(zhǎng)為 l ) ； ④ 球的表面積 S ＝ 4 π R2( 球的半徑為 R ) ． (2) 體積公式： ① 柱體的體積 V ＝ Sh ( S 為底面面積， h為高 ) ； ② 錐體的體積 V ＝13Sh ( S 為底面面積， h 為錐體的高 ) ； ③ 臺(tái)體的體積 V ＝13( S ′＋ SS ′ ＋ S ) h ( S ′， S 分別為上、下底面面積， h 為臺(tái)體的高 ) ； ④ 球的體積 V ＝43π R3( 球的半徑為 R ) ． (3) 正四面體： 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 線，否則結(jié)論不一定成立． ④ 幾個(gè)常用結(jié)論：垂直于同 一條直線的兩個(gè)平面平行；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交；垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或異面． 三、空間向量與立體幾何 1 ． (1) 證明線面平行： ① 證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行； ② 證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直． (2) 證明面面平行：證明兩個(gè)平面的法向量相互平行． (3) 證明線線垂直： a ⊥ b ? a 178。32ah ＝34ah ＝33. 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 是高為 b － a 的圓柱的一半． V ＝π 179。 MB， ∴33＝3 ＋ 1 － SB22 3，得 SB＝ 2 ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 求 k 的值． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 n || PA→| 178。 ∴∠ BAC ＝ ∠ DAC ＝ 60 176。數(shù)學(xué) (理科 ) P 在線段 A 1 B 1 上． (1) 證明： AM ⊥ PN . (2) 是否存在點(diǎn) P ，使得平面 PMN 與平面 ABC 所成的二面角為 30 176。 則 |cos 〈 m ， n 〉 | ＝|2 － 2 λ |9 ＋（ 1 ＋ 2 λ ）2＋（ 2 － 2 λ ）2＝32. 化簡(jiǎn)得 4 λ2＋ 10 λ ＋ 13 ＝ 0. ∵ Δ ＝ 100 － 4 179。 CD 1→＝ 0 ， 得????? 12x －12y ＝ 0 ，－ y ＋ z ＝ 0 ，取 x ＝ 1 ，得 y ＝ z ＝ 1 ，即 m ＝ (1 ， 1 ，1) ． 由 D 1 E ＝ λ EO ，則 E (λ2 （ 1 ＋ λ ），λ2 （ 1 ＋ λ ），11 ＋ λ) ，DE→＝ (λ2 （ 1 ＋ λ ），λ2 （ 1 ＋ λ ），11 ＋ λ) ． 又設(shè)平面 CDE 的法向量為 n ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，由 n 178。建立如圖的坐標(biāo)系使得 △ ABC 在 yBz 平面上， ∵ △ AB D 與 △ ABC 成 30 176。將 △ B CD 沿 BD 折疊到 △ BC ′ D 的位置，使得 AD⊥ C ′ B . (1) 求證： AD ⊥ AC ′； 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 n| m||n |＝－ 13＝－33. ∴ 二面角 N — AM — B 的余弦值為33. 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 6 3 ＋13179。 4 179。 ( 3 r )2179。 4 179。 1 179。 ∴ cos 30 176。數(shù)學(xué) (理科 ) A ． (23，23，13) B ． (13，13，23) C ． (13，23，13) D ． (13，13，13) 【解析】 BP ＝13BD ′， BP ∶ PD ′＝ 1 ∶ 2 ， ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (23，23，13) ． 【答案】 A 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 依題意，得 D (0 ， 0 ， 0) ， A (1 ， 0 ， 0) ， M (0 ， 0 ， 1) ，N (1 ， 1 ， 1) ， E (12， 1 ， 0) ， ∴ NE→＝ ( －12， 0 ，－ 1) ， AM→＝ ( － 1 ， 0 ， 1) ． ∵ cos 〈 NE→， AM→〉＝NE→178。 m| n| |m |＝t3 ＋ 0 ＋ t2＝32， ∴ t ＝ 3. 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 12－ 12＝ 4 π＋ 4. 【答案】 4 π＋ 4 12 ．如圖，點(diǎn) O 為正方體 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的中心，點(diǎn) E為面 B 1 BCC 1 的中心，點(diǎn) F 為 B 1 C 1 的中點(diǎn)，則空間四邊形 D 1 OEF在該正方體的面上的正投影可能是 ___ _____( 填出所有可能的序號(hào) ) ． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 4 179。43π r3＝16 π3. 【答案】 A 8 ．如圖 1 ，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為 a ，高為2 a ，內(nèi)裝水若干．將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2 ，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖 1 中容器內(nèi)水面的高度為( ) ． 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 2 179。 12 179。數(shù)學(xué) (理科 ) 【解析】根據(jù)畫三視圖的規(guī)則 “ 長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等 ” 可知選 B. 【答案】 B 3 ．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組 合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是( ) ． A ． (1)(2) B ． (1 )(3) 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 ∴ AD ⊥ AB ， 又 ∵ C ′ B ⊥ AD ，且 AB ∩ C ′ B ＝ B ， ∴ AD ⊥ 平面 C ′ AB ， ∵ AC ′ ? 平面 C ′ AB ， ∴ AD ⊥ AC ′ . (2) ∵△ BCD 是等邊三角形， AB ＝ A D ， ∠ BAD ＝ 90 176。又 AB ＝ BD ＝ 2 ， ∴ A (0 ， 0 ， 2) ， B (0 ， 0 ， 0) ， C (0 ， 3 ， 1) ，D (1 ， 3 ， 0) ． (1)| CD | ＝ （ 1 － 0 ）2＋（ 3 － 3 ）2＋（ 0 － 1 ）2＝2 . (2) ∵ x 軸與平面 A BC 垂直，故 (1 ， 0 ， 0) 是平面 ABC 的一個(gè)法向量． 設(shè) CD 與平面 ABC 成的角為 θ ，而 CD→＝ (1 ， 0 ，－ 1) ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 DE→＝ 0 ， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 13 ＝－ 108 ＜ 0 ，方程無解． ∴ 不存在點(diǎn) P ，使得平面 PMN 與平面 ABC 所成的二面角為 30 176。數(shù)學(xué) (理科 ) 則點(diǎn)不存在． 【解析】依題意，可以以 A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz(如圖 )， 則 A1(0， 0， 1)， B1(1， 0， 1)， M(0， 1， )， N(， 0)． 由題意，可設(shè) P(λ， 0， 1)． (1)∵ ＝ (0， 1， )，＝ (－ λ，－ 1)， ∴ ∴ AC ⊥ BD . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ BD ， AC ∩ PA ＝ A ， ∴ BD ⊥ 平面 PAC ， 又 ∵ BD ? 平面 P BD ， ∴ 平面 P AC ⊥ 平面 PBD . (2) 在平面 ABCD 內(nèi)過點(diǎn) A 作 AD 的垂線為 x 軸， AD 所在的直線為 y 軸， AP 所在的直線為 z 軸，建立如圖所示的坐 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 n || n |( 其中 n 為平面 α的法向量， M 為平面 α 內(nèi)任意一點(diǎn) ) ． 求二面角：分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小， 專題 5 熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析 來求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【解析】以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 的延長(zhǎng)線為 x 軸， A B 所在的直線為 y 軸， AP 所在的直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB ＝ 1 ， 則 A (0 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， P (0 ， 0 ， k ) ， D (