高等數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)(完整版)
【正文】 ?xyxyyx ),1)(1(dxdy 2 xy ???原方程化為解 dxx )1(y1 dy , 2 ???得分離變量 ,得積分 ,21xa rc t g y 2 Cx ?? ,4C 1|y 0x???? 代入求得以 故所求之解為試求且經(jīng)過點處的斜率等于一曲線在點 ),01(,),(.11 yxyx ?該曲線的方程 . ].12[ ?? xe x解 : 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式 : yxxy ??dd① 10 ??xy② (C為任意常數(shù) ) 由 ① 得 內(nèi)與路徑在右半平面設(shè)曲線積分 )0(])(2[)( 11. 2 ???? xdyxxxfdxxyfL).(,1)1()(, xffxf 求可導(dǎo)且其中無關(guān) ?有依題意列方程解之由恰當(dāng)條件解 ,]Q[ x yP ???,])(2[][ y f ( x ) 2y xxxxf ???? 2x,( x )f2x2 f ( x )f ( x ) ???即.1)(21)( ?? xfxdx xdf)1(ef(x ) 212x1dxeC dxxdx ? ?????? )(e ln21ln21dxeC xx ???)(e 21ln21dxxCx ??? )32(x 2321xC ?? .32x 21xC ??代入初始條件 f(1)=1,得 所以,31?C .3132)(xxxf ??按段光滑的閉平面上任意為設(shè)曲線積分 ? ????L x oyLdydxxfxyxf ,0])(2)[( 12. 曲線， f(x)在 ).(,1)0(,1)0(,),( xfff 求且上二次可微 ??????? 解 由題設(shè)沿閉回路的第二型曲線積分等于零和與路線無關(guān)的 定理，知被積函數(shù)必滿足恰當(dāng)條件，這里 ( x ) ,fy)Q ( x , ),(2),( 2 ???? xfxyyxP)1(,yP 得二階方程由xQ????? ).()(2 2 xfxfx ?????（ 1）注意：題設(shè) f(x)是 x的函數(shù)，這里不一定有 y=f(x) 這是不顯含 f(x)的二階方程， 得則令 ,dxdp(x)f ,)( ????? pxf,2 2xpdxdp ?? ,22 x dxpdp ?? ,1 12 Cxp ??所以得代入 ,1,1)0( 1 ??? Cf ,11 2xp ?? .1 1)( 2xxf ??? 再積分，得 .1a r c t a n)( ?? xxf
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