【正文】 誤差，充分證明該方法的現(xiàn)實意義和廣闊的發(fā)展前景。 因為 XFdAXXFdgXFDDd ???????? 11211 )(( 所以 nn eAzeAzXXFAdXX 111111 ??? ???????? 其中 51541143113211211111 )()()()( xaxdaxcaxbaxaaz ?????????? nnnnnn xaaxbaxcaxdaxaz )()()()( 111111221133114415 ??????????? ???? 這時我們需要求兩個向量 p ， q ，使得 1eAp? ， neAq? 設(shè) Tnpppp )( 11 ， ?? ， ???sjijji rkp1 其中 )1( siri ， ?? 是方程 0123456 ??????? crbrarbrcrr s 個不同的根。不失一般性，不妨令 22)2(424 ????? effd， 綜合對 D 的處理條件，我們要進(jìn)行操作的充分條件是 ?????????????42222cecfed或者???????????????44420222 ccecfed或者? ????????????????2m a x402222cfmmefcfed， 由于 4D 為對角占優(yōu)（ 3D 也是一樣處理） 4D 可以寫成如下形式 444 FDD ??? 其中 ????????????000??????F ??????????????????4444111111dddD ?? 其中 咸陽師范學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 15 4d???? ， 1???? 按照在文獻(xiàn) [2]中的方法對 4D? 進(jìn)行 LU 分解得 ???????????????????1111???L ，?????????????????????1111?U 我們注意對 L 和 U 都是對角占優(yōu)的。為推廣該方法的應(yīng)用，我認(rèn)為可以對其作進(jìn)一擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 12 步的推廣，以適應(yīng)更為復(fù)雜的問題的求解。由程序的運(yùn)行結(jié)果和理論計算非常的接近，滿足誤差分析的精度要求。由于 111 ?? ?????? tttt eceecpA ?? tmttmtmm eceeceqA ????? ??????? 111 ??? tmttmtmm eeceecrA ????? ??????? 111 ??? 所以 )(1)(1)(1 1 11 tmtmtmtmtm eeceeerqA ?????? ??? ????????? ???????????? )()1( 1 qrAc ??? ??? )()1()()1( 111 tmtmttmtmtm eeccecece ??????? ???????????? ????????? 因而解 X 的近似解 X )())(((1 1 1111 rqxqrc xcxpcxXX mmm ?????? ????? ??????????? ??? （ ） 通過如上的推理我們得到了近似解的表達(dá)式（ ）。 考查式（ ）的對稱 Toeplitz 矩陣，令其主子式為 kk AD ? ， nk ， ?10? （ ） 則 kA 是正定的，當(dāng)且僅當(dāng) 0?kD ， nk??0 ，然而，值得指出的是，類似的結(jié)論對于對稱 Toeplitz 矩陣 kA 的半正定性卻不一定成立。通過上機(jī)計算表明，理論與實際是一致的。利用 Toeplitz 矩陣具有的非正常特殊的結(jié)構(gòu)， 我們可以由三對角 Toeplitz 矩陣線性方程組的并行算法得出對稱七對角 Toeplitz 矩陣線性方程組的并行算法。首先介紹了 Toeplitz 矩陣的定義、分類及半正定性等，然后分別給出了三對角 Toeplitz 線性方程組、擬對稱七對角Toeplitz 線性方程組的并行算法的誤差分析。 Parellel algorithm。在T 中， )(2iF ， kmi ，? 是一個 ii? 階的 F 形式的矩陣， O 是只有 11, ?me 其它位置為 0 的矩陣。式中， 0a 為實數(shù)，顯然，一個斜 Hermitian 型 Toeplitz矩陣 A 可以寫作 sAIaA ?? 0 ，其中， sA 為 斜 Hermitian Toeplitz 矩陣，斜 Hermitian Toeplitz 矩陣和斜 Hermitian 型 Toeplitz 矩陣在求解離散化的雙曲差分方程時經(jīng)常會遇到。 ?A 可分解為： ??????????????????????????11111?????A ?????????????????????????11111? 咸陽師范學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 其中 ??? ??? ??? ca???? （ ） 由（ ）知 2 4 ??????? caa? 取 1?? 的解 設(shè) TSA ?? 其中 ???????? ??? )()( kAO OmAS ， ????????? )()( 2 1kFT TmFT 即： ?????????????????????????????????????????????acacaacacaS1111?????? ????????????????????????0100?????cT 首先求解方程組： fXS ?? ， 顯然 fXS ?? 可以化為兩個方程組： mfXmA ??? )( kfXkA ??? )( 這就把一個大方程組分解成兩個小的方程組求解。 并行性分析 為了方便起見，我們不妨設(shè) ??? ?? st ， mpn? ， p 是處理機(jī)臺數(shù)，每臺處理機(jī)求解 iiii fXUL ? 需要的時間為： ??? ????? )1(2)1(21 mmT 在修正過程需要時間運(yùn)算量為： ?? 3)1(32 ??? tT 擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 10 并行通訊二次需要時間為： ?? 223 ??T 并行計算時間為： 321 TTTT ??? 串行元素按時間為： ??? )1(3)1(4 ????? tnT 所以 并行加速比為： ???? ??? 22334 )1(3)1(4 ???? ?????? tm tnTTs 并行效率 PSE? 按照并行算法的意義在 ??n 時， 1?E ， 可見該并行算法具有良好的并行性。對于滿足有邊界條件和輔助條件的系統(tǒng)是完全的且系數(shù)矩陣是對稱的，而以自然輔助條件取代邊界條件和輔助條件的系統(tǒng)，帶狀系數(shù)矩陣變成了非對稱的。 在該處理過程中，需要滿足 1D 為主對角占優(yōu)矩陣，則 2?d 必須成立。除了一些明顯的限制外，修正部分要求每個方程組的階數(shù)足夠的大，以適應(yīng)最終近似的準(zhǔn)確度要求。在本文的第三部分，我們對擾動系統(tǒng)作了修正，并且找到第一部分引入系統(tǒng)的近似解，通過引入的定理對系統(tǒng)的最終解做出了近似并分析了各自在給定擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 18 精度下的允許誤差限。 。在論文的最后一部分，我們再一次對處理系統(tǒng) 的 LU 方法和本文提供的近似并行解法的運(yùn)算量作了最后的比較，并指出了近似并行解法的優(yōu)越性和前景分析。 要求（ ）的解，必須對解 X? 進(jìn)行修正。 此時令 ?????????????????33331111dddD?? ?????????????????44441111dddD?? ?????????????????1000000000011???????F 此時 2)2(424,3 ???? effd 23?d 或者 24 ?d 其中必須有一個成立。為了尋找一個有效的并行解法求解工程中更為一般的問題，在文獻(xiàn) [1]中引入了一個五角對角線擬Toeplitz 帶狀對稱矩陣的有效并行算法。 其中 ? 為把矩陣進(jìn)行 LU 分解時的下三角矩陣中的元素， c? 為非對稱矩陣修正時的c ， X 是修正方程的近似解。 擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 8 由 fXTSXA ??? )( ， 我們可以推得 ))(( 1111111 ????? ???????????????? mmmmm exxcexexAXXTAXX ?? 所以只需求解以下三個方程： 1eAp? ， meqA ? ， 1?? merA 按照文獻(xiàn) [1]中的方法取 ? ?002 ， ?? tp ???? ???????