考研線性代數(shù)筆記精華行列式和矩陣(完整版)
【正文】 部分必?zé)o關(guān) . ④ 原向量組無(wú)關(guān) ,接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān) ,原向量組相關(guān) . ⑤ 兩個(gè)向量線性相關(guān) ? 對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān) 114p教 材 . ⑥ 向量組 12, , , n? ? ???? 中任一向量 i? (1 ≤ i ≤ )n 都是此向量組的線性組合 . ⑦ 向量組 12, , , n? ? ???? 線性相關(guān) ? 向量組中至少有一個(gè)向量可由 其余 n?1 個(gè) 向量 線性表示 . 6 向量組 12, , , n? ? ???? 線性無(wú)關(guān) ? 向量組中每一個(gè)向量 i? 都不能由其余 n?1 個(gè) 向量 線性表示 . ⑧ m 維列向量組 12, , , n? ? ???? 線性相關(guān) ()r A n??； m 維列向量組 12, , , n? ? ???? 線性無(wú)關(guān) ()r A n??. ⑨ ()r A A O? ? ?0 . ⑩ 若 12, , , n? ? ???? 線性無(wú)關(guān) ，而 12, , , ,n? ? ? ???? 線性相關(guān) ,則 ? 可由 12, , , n? ? ???? 線性表示 ,且表示法 唯 一 . ? 矩陣的行向量組的秩 ? 列向量組的秩 ? 矩陣的秩 . 行 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù) . 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為 0 ；每個(gè)臺(tái)階只有一 行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零 .當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為 1，且這些非零元所在列的其他元素都是 0 時(shí)，稱為 行最簡(jiǎn)形矩陣 ? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩 ,且不改變列向量間的線性關(guān)系 ； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩 ,且不改變行向量間的線性關(guān)系 . 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩 . √ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系： 對(duì) A 施行一次初等 行 變換得到的矩陣 ,等于用相應(yīng)的初等 矩陣 左 乘 A ； 對(duì) A 施行一次初等 列 變換得到的矩陣 ,等于用相應(yīng)的初等矩陣 右 乘 A . 若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià) ,則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等 . ? 若 A 是 mn? 矩陣 ,則 ? ?( ) min ,r A m n? ,若 ()r A m? ， A 的行向量線性無(wú)關(guān)； 若 ()r A n? ， A 的列向量線性無(wú)關(guān) ,即： 12, , , n? ? ???? 線性無(wú)關(guān) . √ 初等矩陣的性質(zhì)： 7 ( , )E i j ??1 [ ( )]Ei k k? [ , ( )]E i j k ?1 ( , ) ( , )TE i j E i j? [ ( )] [ ( )]TE i k E i k? [ , ( )] [ , ( )]TE i j k E j i k? 1( , ) ( , )E i j E i j? ? 1 1[ ( )] [ ( )]kE i k E i? ? 1[ , ( ) ] [ , ( ) ]E i
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