【正文】 Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS niihaxn abh i ,0, ??????dtntititttnininhdthinintititttdxxlaninninthaxbaii???????????????????????????00)()1)(1()1()!(!)1( )1()!(!)()1)(1()1()(????)()( nii Caba ???設節(jié)點步長 )(niC(ba) 與步長 h無關(guān)，可以預先求出 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS N＝ 1時 2121)1(10)1(110)1(0????????dttCdttC)(21)()(21)()(1 bfabafabfI ????梯形公式 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS N＝ 2時 61)1(4164)2(2161)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0??????????????dtttCdtttCdtttC)(61)()2(64)()(61)()(2 bfababfabafabfI ???????Simpson公式 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 梯形公式 )(39。 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ 39。( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ( 4 )1 1 2 0 1 22139。39。( ) 39。),(39。( ) ( / 2 ) ( / 2 )f x D h O hf x D h O h????39。39。( ) 39。( ) 39。 000???由 Taylor展開 hxxfhxhfxfhxf ??????? 002000 ),(39。000?????????????1. 函數(shù) f(x)以離散點列給出時，而要求我們給出導數(shù)值， 2. 函數(shù) f(x)過于復雜 這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導數(shù)值 微積分中，關(guān)于導數(shù)的定義如下： 自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS hxfhxfxf )()()(39。39。!2)()()(39。( ) ,2 ! 3 !( ) ( ) 39。39。)(22212000hOfhffhhhxfhxfxfxR????????????中心差商 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由誤差表達式， h越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，所以，有個最佳步長 我們可以用事后誤差估計的方法來確定 設 D(h),D(h/2)分別為步長為 h,h/2的差商公式。( ) ( / 2) ( ) ( / 2)f x D h D h D h? ? ?數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS f(x)=exp(x) h f’() R(x) h f’() R(x) 例： 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。39。( ) 39。 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ 39。39。與節(jié)點的選取有關(guān)。39。39。39。 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定義 若一個積分公式的誤差滿足 且 C ? 0，則 稱該公式是 p 階收斂 的 。212 )()()(22 ?fhabfTfIn ??????????n等分區(qū)間 2n等分區(qū)間 近似有： )(39。對 非矩形區(qū)域的積分，大多可以變化為矩形區(qū)域上的累次積分。 1 3 177。 177。 3 177。 0 區(qū)間 (?,??)上權(quán)函數(shù) W(x)= 2xe? 的 Gauss型求積公式 ,稱為GaussHermite求積公式 , 其 Gauss點為 Hermite多項式 的零點 . 。 177。 5 177。 177。將它變?yōu)榛鄞畏e分 ? ?? ?? ? ?????????????? dc baba dcba dc dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(),(首先來看看復化梯形公式的二重推廣 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 做等距節(jié)點， x軸， y軸分別有： ncdkmabh ???? ,?dc dyyxf ),(先計算 ???????? ??? ?? ??),(21),(),(21),(110 nnjjdcyxfyxfyxfkdyyxf，將 x作為常數(shù)，有 再將 y作為常數(shù)，在 x方向，計算上式的每一項的積分 ?????? ??? ?? ??),(21),(),(212),(21 0110000 yxfyxfyxfhdxyxfmmiiba?????? ??? ?? ??),(21),(),(212),(21110 nmmininba nyxfyxfyxfhdxyxf二重積分的復化梯形公式 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ? ??? ?? ?? ??????????????????????????????????1111110111101111),(),(21),(21 ),(21),(),(21 ),(),(njmijinjjmjnjjmmijijnjbajbanjjyxfhyxfyxfhyxfyxfyxfhdxyxfdxyxf數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ? ?? ?? ?????? ???????????????????????????????????1111,1111111101111