【正文】 23 信息管理學(xué)院 徐曄 定義 如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取得有限個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 . ??? , 21 nk xxxxX設(shè)離散型隨機(jī)變量 X其可能的取值為 ?,3,2,1}{ ??? ixXPp ii稱 為離散型隨機(jī)變量 X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律 一、離散型隨機(jī)變量 的 分布律 24 信息管理學(xué)院 徐曄 Xip1x 2x ? nx ?1p 2p ? np ?表格形式 分布列的性質(zhì)： ?,2,1,0)1( ?? kp i1)2( ??iip 25 信息管理學(xué)院 徐曄 概率直方圖 另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖 . 0 1 2 線條圖 0 1 2 P X P X 0 1 2 X ip 26 信息管理學(xué)院 徐曄 例 1 袋中有 1個(gè)白球和 4個(gè)黑球，每次不放回地從中任取一個(gè)球，直至取得白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的概率分布 . 解 設(shè) X為取到白球時(shí)的取球次數(shù) X的可能取值為 1, 2, 3, 4, 5 不難求得 )1( ?XP 51 ?? )2( ?XP 4154 ???)3( ?XP 314354 ?? )4( ?XP 21324354 ??)5( ?XP 21324354 ??????因此 ,所求的概率分布為 XP1 2 3 4 5 27 信息管理學(xué)院 徐曄 Xip1x 2x ? nx ?1p 2p ? np ?則 X 的分布函數(shù)為 }{)( xXPxF ??即， ,0)( ?xF當(dāng) 21 xxx ?? 時(shí)， ,)( 1pxF ?}{ ixxxXPi???? ???xxiip1xx ? 時(shí)， 當(dāng) 當(dāng) 32 xxx ?? 時(shí)， ,)( 21 ppxF ????當(dāng) nn xxx ??? 1 時(shí)， ??? ,)( 121 ????? npppxF二、離散型 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 28 信息管理學(xué)院 徐曄 如圖， )(xF 是一個(gè)階 它在 ixx ?),2,1( ??i 有跳躍， }.{ ii xXPp ?? 反之， 若一個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布函 則 X 一定是一個(gè)離散型隨機(jī)變量， 其概率分布亦由 分布亦由 )(xF 唯一確定 . 梯函數(shù)， 跳躍度恰為隨機(jī)變量 ixx ? 點(diǎn)處的概率 X 在 數(shù)， 數(shù)為階梯函 )( xFxO 2x1x 3x ......1p3p2p當(dāng) nn xxx ??? 1 時(shí)， ??? ,)( 121 ????? npppxF 29 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過 . 以 X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X的分布律 . (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的 ). P{X=3}=(1p)3p 30 信息管理學(xué)院 徐曄 解 以 p表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則X的分布律為： pk p 或?qū)懗? P{X= k} = (1 p)kp， k = 0,1,2,3 0 1 2 3 4 (1p) p (1p)2p (1p)3p (1p)4 X P{X= 4} = (1p)4 31 信息管理學(xué)院 徐曄 以 p = 1/2代入得 X的分布律： X pk 0 1 2 3 4 ??????????????????????41439 3 7 00)(xxxxxxxFX的分布函數(shù)為 分布函數(shù)是累計(jì)概率 32 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 有人對(duì)隨機(jī)變量 X的分布列表述如下 : 10210 2aaaPX 1 0 1 2 3 求 . a解 根據(jù)概率分布的性質(zhì) 0?a 151????iip且所以 1022 ????? aaa ??? aa解得 (舍去 ) 33 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P47練習(xí) 2 P51練習(xí) 1 2 信息管理學(xué)院 徐曄 幾種常見的離散型分布 一、兩點(diǎn)分布 二、 二項(xiàng)分布 三、 泊松 (Poisson)分布 四、超幾何分布 * 35 信息管理學(xué)院 徐曄 定義 若一個(gè)隨機(jī)變量 X 只有兩個(gè)可能的取值 , 其分布為 ),10( ?? p且 ,1}{ 2 pxXP ???,}{ 1 pxXP ??特別地 , 點(diǎn)分布 , 即 參數(shù)為 p 的兩 則稱 X 服從 21, xx 處 p 的 兩點(diǎn)分布 . 參數(shù)為 若 X 服從 0,1 21 ?? xx 處 Xip0 1p?1 p則稱 X 服從參數(shù)為 p 的 10? 分布 . 一、兩點(diǎn)分布 36 信息管理學(xué)院 徐曄 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布 ,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象 , 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等 , 都屬于兩點(diǎn)分布 . 說明 37 信息管理學(xué)院 徐曄 ??????HeTeX,1,0例 1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ,有兩種可能的結(jié)果：H表示正面朝上， T表示背面朝上，引入變量 X，令 pi=P{ X=i }= ( i = 0, 1 ) X 0 1 p X的概率分布表： 概率分布為 38 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 200 件產(chǎn)品中 , 有 196 件是正品 , 則 ,0,1????取到次品取到正品XX 服從參數(shù)為 的兩點(diǎn)分布 . 于是 , 4 件是次品 , 今從中隨機(jī)地抽取一件 , 若規(guī)定 }1{ ?XP 202196? ,?}0{ ?XP 2021 .? 39 信息管理學(xué)院 徐曄 二、 二項(xiàng)分布 定義 若隨機(jī)變量 X的所有可能取值為 0,1,2, ,n,其概率分布為 … nkqpCkXP knkkn ,2,1,0,}{ ???? ?),(~,1,10pnBXpnXNnpqp記為項(xiàng)分布為參數(shù)的二服從以則稱其中 ?????很顯然 , n重 伯努利 試驗(yàn)中成功的次數(shù)服從二項(xiàng)分布 事實(shí)上 ,二項(xiàng)分布就是來源于 n重 伯努利 試驗(yàn)?zāi)Ｐ? 40 信息管理學(xué)院 徐曄 n=1時(shí)， 即 P{X=0}=1p, P{X=1}= p P{X=k}=pk(1p)1k , (k=0,1)， (01)分布 性質(zhì) 0}{ ?? kXP(1) 1)(}{00????? ?????nnkknkknnkqpqpCkXP(2) nkqpCkXP knkkn ,2,1,0,}{ ???? ? 41 信息管理學(xué)院 徐曄 ).,(~ pnBX二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn) : P knO對(duì)于固定 n 及 ,p 當(dāng) k 增 加時(shí) , 概率 }{ kXP ?先 是隨之增加直至達(dá)到最 大值 , 隨后單調(diào)減少 . ,)1(}{ knkkn ppCkXP ???? 42 信息管理學(xué)院 徐曄 pknOn ? 13 , p ? 0. 5圖 2在圖 1和圖 2中， 分別給出了當(dāng) ,10 ?? pn和 ,13 ?? pn 時(shí)二項(xiàng)分布的圖形 . 從圖易 看出： 對(duì)于固定 n 及 ,p 當(dāng) k 增加時(shí)， 概率 }{ kXP ?先是隨之增加直至達(dá)到最大值， 隨后 單調(diào)減少 . p k n O n ? 10 , p ? 圖 1 43 信息管理學(xué)院 徐曄 注 ： ][x 為不超過 x 的最大整數(shù) . 當(dāng) pn )1( ? 為整數(shù)時(shí)， 二項(xiàng)概率 }{ kXP ?在 pnk )1( ?? 和 1)1( ??? pnk 處達(dá)到最 大值 . 可以證明， 一般的二項(xiàng)分布的圖形也具有這一 性質(zhì)， 二項(xiàng)概率 }{ kXP ?在 ])1[( pnk ?? 達(dá)到最大值； pn )1( ? 不為整數(shù)時(shí)， 且當(dāng) p k n O n ? 10 , p ? 圖 1 pknOn ? 13 , p ? 0. 5圖 2 44 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 一張考卷上有 5道選擇題，每道題列出 4個(gè) 可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué) 生靠猜測(cè)至少能答對(duì) 4道題的概率是多少？ 的題數(shù)：該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)設(shè) X?????? 41,5~ BX? ?4?? XP? ?道題至少能答對(duì) 4P? ?5?? XP5445 414341 ??????????????? C641?? ?4?? XP解 每答一道題相當(dāng)于做一次 伯努利 試驗(yàn)， 則 45 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 按規(guī)定 ,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品 .已知某批產(chǎn)品的一級(jí)品率為,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取 20只 ,問 20只元件中恰有k(k=0,1,2,?,20) 只為一級(jí)品的概率為多少？ ?? }{ kXP記 X為 20只元件中一級(jí)品的只數(shù) , 解 ? ?BX ~ ,2