【正文】 2. Z變換的收斂域 顯然 ， 只有當(dāng)上式冪級(jí)數(shù)收斂時(shí) ， Z變換才有意義 。 由取樣信號(hào)序列重構(gòu)帶限信號(hào) 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為 TtTttdeTdejHthsstjtj ss/)/s i n(2/)2/s i n(2)(21)(2/2/????????????????????? ??由 與 h(t)的卷積積分，即得理想低通濾波器的輸出為 )(? txa)()()()()()()()()()(?)(nTthnTxdnTthxdthnTtxdthxtyanannaaa???????????????????????????????????????????????????????這里 h(tnT)稱為內(nèi)插函數(shù)： TnTtTnTtnTth/)(]/)(s i n[)(??????(135) 它的波形如圖 145所示 ， 其特點(diǎn)為 ：在取樣點(diǎn) nT上 ， 函數(shù)值為 1。 表一些典型的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng) 應(yīng)用系統(tǒng) 上限頻率m a xf 取 樣頻率sf 地質(zhì)勘探 500 Hz 1 2 k Hz 生物醫(yī)學(xué) 1 k Hz ２ ４ k Hz 機(jī)械振動(dòng) ２ k Hz 4 1 0 kHz 語音 ４ k Hz 8 1 6 kHz 音樂 ２０ k Hz 40 9 6 k Hz 視頻 ４ MH z 8 1 0 M Hz 例： 一個(gè) 100Hz的正弦信號(hào) x(t)以 240Hz取樣。 （ d） 和 （ e） 則分別對(duì)應(yīng)于Ω0Ωs/2=π/T和 Ω0π/T時(shí)低通濾波器輸出的傅里葉變換 ， 在沒有混疊時(shí) （ (b)和 (d)） ， 恢復(fù)出的輸出 ya(t)為 )(? txa)(? txa圖 111 一個(gè)余弦信號(hào)取樣中的混疊效果 Xa(j ? )π π－ ?0o ?0?)j(?a?X?－ ?0o ?0－ ?s2s??s?)j(?a?X－ ?0o ?0－ ?s2s??s( c )( b )( a )2s???0＜?T2s???0＞?T?T?T在有混疊時(shí)，則是 tty sa )c o s ()( 0????這就是說 ， 作為取樣和恢復(fù)的結(jié)果 ， 高頻信號(hào) cosΩ0t已經(jīng)被當(dāng)作和低頻信號(hào) cos(ΩsΩ0)t是一樣的東西被冒名頂替了 。 也就是說 ， 可以不失真地還原出原來的連續(xù)信號(hào) 。 若各個(gè)信號(hào)的傅里葉變換分別表示為 : dtetxjXdtetsjSdtetxjXtjaatjtjaa????????????????????????)(?)(?)()()()(則應(yīng)滿足 )()(2 1)(? ????? jSjXjX aa ?現(xiàn)在來求 S(jΩ)=F［ s(t)］ 。 )()()( tptxtx ap ?當(dāng) τT時(shí) ， 取樣脈沖就接近于 δ函數(shù)性質(zhì) 。 又因?yàn)檩斎?x(n)=δ(n)， 所以系統(tǒng)的輸出 y(n)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) h(n)。 （ 2） 卷積計(jì)算法 ，這用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。 若系數(shù)中含有 n， 則稱為 “ 變系數(shù) ” 線性差分方程 。 所以 是穩(wěn)定的必要條件 。因而 n0時(shí)，h(n)=0是必要條件 我們知道 ， 許多重要的網(wǎng)絡(luò) ， 如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng) 。 以上三個(gè)性質(zhì) ， 交換律前面已經(jīng)證明了 ， 另外兩個(gè)性質(zhì)由卷積的定義可以很容易加以證明 。 一般用 h(n)表示單位脈沖響應(yīng) ， 即 h(n)=T［ δ(n)］ 有了 h(n)我們就可以得到此線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出 。 同樣可以證明， 2( ) ( ) ( ) ( ) s in97my n x m y n x n n???? ? ???? ? ??????和 都是線性系統(tǒng) 時(shí)不變系統(tǒng) 若系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān) ， 則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng) （ 或稱移不變系統(tǒng) ） 。 圖 121 離散時(shí)間系統(tǒng) T [ ]x ( n ) y ( n ) 周期 N總是整數(shù)。 這和連續(xù)信號(hào)是不一樣的 。 對(duì)第一種表示，序列的實(shí)部、虛部分別為 njAnAnjnAnx 0000 s i nc o s)s i n( c o s)( ???? ????如果用極坐標(biāo)表示，則 njnxj Aeenxnx 0)](a r g [|)(|)( ???因此有： nnxAnx0)](a rg [|)(|??? 序列的周期性 如果對(duì)所有 n存在一個(gè)最小的正整數(shù) N，滿足 )()( Nnxnx ?? (112) 則稱序列 x(n)是周期性序列，周期為 N。 (b) |a|1。 2． 單位階躍序列 u(n) ????????0001)(nnnu 如圖 15 所示。 當(dāng) n為負(fù)整數(shù)時(shí) ， 左移 n位 。標(biāo)乘序列 f(n)可表示為 )()( ncxnf ? 累 加 ?????nkkxny )()(它表示 y(n)在某一個(gè) n0上的值 y(n0)等于在這一個(gè) n0上的 x(n0)值與n0以前所有 n上的 x(n)之和 。 { ( ) } {.. ., 0 .9 5 , 0 .2 , 2 .1 , 1 .1 , 0 .5 6 , 3 .1 , 0 .8 , . ..}xn ?? ? ?圖 11 離散時(shí)間信號(hào) x(n)的圖形表示 － 5 － 4x ( － 5)x ( － 4)x ( － 3)－ 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 6 nx (4)x (5) x (6)x (3)x (2)x (1)x (0)x ( n )x ( － 2)x ( － 1) 離散時(shí)間信號(hào)的獲取方法： 一可以對(duì)模擬信號(hào) (如語音 )進(jìn)行等間隔抽樣而得到 。 例如 ， 對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào) xa(t)， 以每秒 fs=1/T個(gè)采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號(hào) ， 它與 xa(t)的關(guān)系如下： )()( nTxnx a?二可以認(rèn)為是自然產(chǎn)生的離散時(shí)間序列 ， 如每日股票市場價(jià)格 、 人口統(tǒng)計(jì)數(shù)和倉庫存量等 。 差分運(yùn)算 前向差分 Δx(n)=x(n+1)x(n) 后向差分 ▽ x(n)=x(n)x(n1) 由此得出 ▽ x(n)=Δx(n1) 序列的時(shí)間尺度 (比例 )變換 ( ) ( ) ( )nw n x m n xm? 或,其中 m為正整數(shù) 例如m = 2 的x ( 2 n ) 。 （ 3） 相乘：再將 h(nm)和 x(m)的相同 m值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘 。它很類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù) u(t)。 (c) a=|a| …0 1 2 3 4 5－ 1 nanu ( n )| a | ＜ 1anu ( n )| a | ＞ 10 1 2 3 4 5－ 1 nanu ( n )0－ 1 n1 2 3 4 5… …a ＝－ | a |0a1 a1 1a 0 5． 正弦型序列 x(n)=A sin(nω0+υ) 式中 : A為幅度 。 現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 同樣 ， 指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同 。 對(duì)于組合信號(hào)， N是各周期的最小公倍數(shù)。 線性系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) ， 即若某一輸入是由 N個(gè)信號(hào)的加權(quán)和組成 ， 則輸出就是系統(tǒng)對(duì)這幾個(gè)信號(hào)中每一個(gè)的響應(yīng)的同樣加權(quán)和組成 。 這個(gè)性質(zhì)可用以下關(guān)系表達(dá)：若輸入 x(n)的輸出為 y(n)， 則將輸入序列移動(dòng)任意位后 ， 其輸出序列除了跟著移位外 ， 數(shù)值應(yīng)該保持不變 ， 即若 T［ x(n)］ =y(n) 則 T［ x(nm)］ =y(nm) （ m為任意整數(shù)） 滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為時(shí)不變系統(tǒng)。 下面討論這個(gè)問題： 設(shè)系統(tǒng)輸入序列為 x(n)， 輸出序列為 y(n)。 圖 123 具有相同單位脈沖響應(yīng)的三個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng) h1( n ) h2( n )h2( n ) h1( n )h1( n ) h2( n )x ( n )x ( n )x ( n )y ( n )y ( n )y ( n )*圖 124 線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng) h1( n )h2( n )＋h1( n ) ＋ h2( n )y ( n )x ( n )x ( n ) y ( n ) 因果系統(tǒng) 所謂因果系統(tǒng) ， 就是系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出 y(n)只取決于此時(shí)刻 ， 以及此時(shí)刻以前的輸入 ， 即 x(n), x(n1), x(n2), …。 但是數(shù)字信號(hào)處理往往是非實(shí)時(shí)的 ， 即使是實(shí)時(shí)處理 ， 也允許有很大延時(shí) 。 要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 只需找一個(gè)特別的有界輸入 ， 如果此時(shí)能得到一個(gè)無界的輸出 ， 那么就一定能判定一個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 差分方程的階數(shù)等于未知序列 （ 指 y(n)） 變量序號(hào)的最高值與最低值之差 。 差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下 ， 可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng) 。 先由初始條件及輸入求 h(0)值： ??110)0()1(21)0( ?????? ?hh再由 h(0)值及輸入推導(dǎo) h(1)，并依次推導(dǎo)得 h(2), h(3), … 。 圖 141 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣過程 xa( t )ot( a ) ( b )xa( t ) )(?atxTp ( t )ttt t( c ) ( e )( d ) ( f )s ( t )xp( t ))(?atxoooo?T1T連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣過程 理想取樣 理想取樣就是假設(shè)取樣開關(guān)閉合時(shí)間無限短 ， 即 τ→ 0的極限情況 。 由于 s(t)是以取樣頻率重復(fù)的沖激脈沖 ， 因此是一個(gè)周期函數(shù) ， 可表示為傅里葉級(jí)數(shù) ， 即 (123) ???????ktjkkseats )(此級(jí)數(shù)的基頻為取樣頻率，即 : Tfs1?ss fT ?? 22 ???一般稱 fs為頻率 ， 單位為赫茲 (Hz)， Ωs為角頻率 ， 單位為弧度 /秒 。 圖 142 時(shí)域取樣后， 頻譜的周期延拓 0 t x a (t) Ω h fs22 f h 2 2 2 f s12 f h 1 1 1 Ω h 如果信號(hào)的最高頻譜 Ωh超過 Ωs/2， 則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊 ， 稱為 混疊現(xiàn)象 。 這個(gè)討論就是奈奎斯特取樣定理的基礎(chǔ) 。有沒有產(chǎn)生混疊？需要多少個(gè) x(t)的完整周期才能得到取樣信號(hào)的一個(gè)周期？ 解： 由于取樣頻率超過了 200Hz，所以沒有混疊存在。 其余取樣點(diǎn)上 ， 函數(shù)值都為零 。 對(duì)任意給定序列 x(n)， 使其 Z變換收斂的所有 z值的集合稱為X(z)的 收斂域 。 也即 其 Z變換為 ????21)()(nnnnznxzX