【正文】 ) |mmmy x m h n m h mhm??? ?? ? ???? ??? ? ? ?? ? ???? 也即 y(0)是無界的 ， 這不符合穩(wěn)定的條件 ， 因而假設(shè)不成立 。習(xí)題 因果性 ? ? ? ? ? ?)2a y n x n x n? ? ?? ? ? ? ? ?) 4 3 2b y n y n x n? ? ? ? ?穩(wěn)定性 ? ? ? ? ? ? ? ?),a y n g n x n g n? 這里 有界? ? ? ?) xnb y n e?非因果的 因果的 穩(wěn)定的 穩(wěn)定的 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示 ， 而離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示 ， 即 00( ) ( )NMkmkma y n k b x n m??? ? ??? 所謂常系數(shù) 是指決定系統(tǒng)特征的 a1,a2,…,aN, b1, b2, …, bM都是常數(shù) 。 離散時(shí)域求解法有兩種： （ 1） 迭代法 ， 此法較簡單 ， 但是只能得到數(shù)值解 ， 不易直接得到閉合形式 （ 公式 ） 解答 。 由于初始條件已給定了 n=0 以前的輸出 ， 所以系統(tǒng)的輸出響應(yīng)只要從 n=0 開始求起 。 取樣器可以看成是一個(gè)電子開關(guān) ， 設(shè)開關(guān)每隔 T秒短暫地閉合一次 ， 將連續(xù)信號(hào)接通 ， 實(shí)現(xiàn)一次取樣 。 由于在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中已學(xué)過 ， 時(shí)域相乘 ， 則頻域?yàn)榫矸e運(yùn)算 。 這時(shí)采用一個(gè)截止頻率為 Ωs/2的理想低通濾波器 ， 就可得到不失真的原信號(hào)頻譜 。 圖 （ c） 是在Ω0Ωs/2時(shí) ， 的傅里葉變換 。 同時(shí)為了避免高于折疊頻率的雜散頻譜進(jìn)入取樣器造成頻譜混淆 ， 一般在取樣器前加入一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器 ， 稱為防混疊濾波器 ，其截止頻率為 Ωs/2， 以便濾除掉高于 Ωs/2 的頻率分量 。 )(? ?jX a圖 144取樣的恢復(fù) H (j ? )h ( t )H (j ? )T?s / 2)(?atx y ( t ) ＝ xa( t )o????????????????2||02||)(ssTjH取樣信號(hào)通過這個(gè)濾波器后，就可濾出原模擬信號(hào)的頻譜 )()()(?)( ?????? jXjHjXjY aaa因此，在輸出端可以得到原模擬信號(hào) )()( txty aa ?理想低通濾波器雖不可實(shí)現(xiàn) ， 但是在一定精度范圍內(nèi) ， 可用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的濾波器來逼近它 。 圖 114 采樣內(nèi)插恢復(fù) xa( t )oT 2 T 3 T 4 Tt第二章 Ｚ變換與離散時(shí)間傅里葉變換 DTFT Z變換的定義及收斂域 1. Z變換的定義 一個(gè)離散序列 x(n)的 Z變換定義為 ２ .１ Z 變 換的定義與收斂域 ???????nnznxzX )()(式中 ， z是一個(gè)復(fù)變量 ， 它所在的復(fù)平面稱為 Z平面 。 Z平面上收斂域的位置 ， 或者說 Rx及 Rx+的大小和序列有著密切的關(guān)系 ， 分別討論如下 。因此 ?????? ??||011)( 1 zzzzXN （ 2） 右邊序列 ： 右邊序列是指 x(n)只在 n≥n1時(shí)有值 ， 在nn1時(shí) x(n)=0。故得到以上閉合形式的表達(dá)式 ， 在 z=a處有一極點(diǎn) (用 “ ”表示 )，在 z=0處有一個(gè)零點(diǎn) (用 “ ○” 表示 )， 收斂域?yàn)闃O點(diǎn)所在圓 |z|=|a|的外部 。 函數(shù) 在 z=a處有一極點(diǎn) ， 整個(gè)收斂域在極點(diǎn)所在圓以內(nèi)的解析區(qū)域 。 如果 RxRx+， 則存在公共收斂區(qū)域 ， X(z)有收斂域 Rx|z|Rx+ 這是一個(gè)環(huán)狀區(qū)域 。 ? ? ?? ?c knkn zzzXsdzzzXj ],)([Re)(21 11? 1. 圍線積分法 （ 留數(shù)法 ） 這是求 Z反變換的一種有用的分析方法 。 因此 ????????????????????????????????00,Re,Re0,Re)(nazzsaazzsnaaz
。因此 ?? ??????? cmnmnxdzzjmx )(2 1)( )1(?或 ? ??? ??c xxn RRxdzzzXj ),()()(2 1 1? 直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的 ， 實(shí)際上 , 求 Z反變換時(shí) ，往往可以不必直接計(jì)算圍線積分 。 （ 4） 雙邊序列： 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)右邊序列和一個(gè)左邊序列之和， 即 ? ? ?????????????? ???n n nnnn znxznxznxzX01)()()()(等式右邊第一項(xiàng)為右邊序列 ， 其收斂域?yàn)?|z|Rx。 ? ??????????????? ????????n nnnnnnnn zazaznuazX11)1()(此等比級(jí)數(shù)在 |a1z|1，即 |z||a|處收斂。 例 23 x(n)=anu(n), 求其 Z變換及收斂域。 圖 21 δ(n)的收斂域 (全部 Z平面 ) oj Im [ z ]Re [ z ]例 22 求矩形序列 x(n)=RN(n)的 Z變換及其收斂域。 常用的 Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示： )()()(zQzPzX ?|z | ＝ Rx －oj Im [ z ]Re [ z ]|z | ＝ Rx ＋ 分子多項(xiàng)式 P(z)的根是 X(z)的零點(diǎn) ， 分母多項(xiàng)式 Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn) 。 這就是奈奎斯特取樣定理的意義 。 即有 ????????ksaa jksXTsX )(1)(? (134) 式中： dtetxsXdtetxsXstaastaa????????????)(?)(?)()(即 分別是 的雙邊拉普拉斯變換。 取樣頻率必須大于奈奎斯特率 。 (130) 給出該余弦信號(hào) ttx a 0c o s)( ??的傅里葉變換 Xa(jΩ)。 因此只要各延拓分量與原頻譜分量不發(fā)生頻率混疊 ， 則有可能恢復(fù)出原信號(hào) 。 沖激函數(shù)序列 s(t)為 )()( nTttsn?? ??????以 表示理想取樣的輸出 ， 以后我們都以下標(biāo) a表示連續(xù)信號(hào)（ 或稱模擬信號(hào) ） ， 如 xa(t)；而以它的頂部符號(hào) （ ∧ ） 表示它的理想取樣 ， 如 。 z－ 1x ( n ) y ( n )1 / 2＋圖 1 2 0圖 131 例 14 設(shè) x(n)=δ(n)， 但初始條件假設(shè) y(n)=0， n0, 可得 n0時(shí) h(n)=y(n)=0， 將式 （ 153） 改寫為另一種遞推關(guān)系 y(n1)=2［ y(n)x(n)］ 或 y(n)=2［ y(n+1)x(n+1)］ 又利用已得出的結(jié)果 h(n)=0(n0), 則有： 221212)]1()1([2)2(212)]0()0([2)1(0)]1()1([2)0(????????????????????????????????????hhhhhh… nnhnh ??????????21)1(2)(所以 ???????????????02100)(nnnh n也可表示為 )1(21)( ?????????? nunhn這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 而且是非穩(wěn)定的。 解 系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 120所示 。 離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個(gè)主要的用途 ， 一是 從差分方程表達(dá)式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ， 二是 便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 。 例 ：設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為 ? ? ? ?nh n a u n?（ 1）討論因果性： n0時(shí)， h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 穩(wěn)定性要求對(duì)于每個(gè)有界輸入存在一個(gè)不變的正有限值 P， 對(duì)于所有 n值 ， 輸出序列 y(n)滿足 |y(n)|≤P∞ 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和 ， 即 | ( ) |nP h n?? ? ?? ? ??證 充分條件： | ( ) |nP h n?? ? ?? ? ??若 如果輸入信號(hào) x(n)有界，即對(duì)于所有 n皆有 |x(n)|≤M，則 | ( ) | ( ) ( ) | ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |mmky n x m h n m x m h n mM h n m M h k MP??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????即輸出信號(hào) y(n)有界，故原條件是充分條件。 證 : 充分條件 若 n0時(shí) h(n=0),則 ? ? ? ? ? ?nmy n x m h n m? ? ????因而 ? ? ? ? ? ?000nmy n x m h n m? ? ????? ? ? ?00y n m n x m?所以 只和 時(shí)的 值有關(guān)，因而系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 圖 122 線性時(shí)不變系統(tǒng) h ( n )x ( n ) y ( n ) ＝ x ( n ) h ( n )* 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 1． 交換律 由于卷積與兩卷積序列的次序無關(guān)， 即卷積服從交換律， 故 )()()()()( nxnhnhnxny ????這就是說 ， 如果把單位脈沖響應(yīng) h(n)改作為輸入 ， 而把輸入 x(n)改作為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) ， 則輸出 y(n)不變 。 除非特殊說明 ， 本書都是研究 LTI系統(tǒng) 。 該式還可推廣到多個(gè)輸入的疊加 ， 即 ? ?? ????????k kkkkkkkk nxanxTanxaT )()]([)(式中 , yk(n)就是系統(tǒng)對(duì)輸入 xk(n)的響應(yīng) 。 序列的能量 序列 x(n)的能量 E定義為序列各采樣樣本的平方和， 即 ??????nnxE 2|)(|(115) 例：計(jì)算信號(hào) x(n)= 的能量，這是一個(gè)一側(cè)衰減的指數(shù)函數(shù)，它的信號(hào)能量是： ? ? 0, ?? nnJEnnnn 129)(9|)(3|002 ??????? ?????? 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算 。 用 ω0代替 Ω0T， 可得 )s i n ()( 0 ?? ?? nAnx這就是我們上面討論的正弦型序列。 （ 2） 當(dāng) 2π/ω0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則 kN?02??式中 ， k, N為互素的整數(shù) ， 則 為最小正整數(shù) ， 序列的周期為 N。 其中 ， ω0=2 π f0 圖 18 正弦序列 (ω0=) s i n ( n ?0)1－ 1no 6． 復(fù)指數(shù)序列 序列值為復(fù)數(shù)的序