【正文】 A0和 A1是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )c os (),()c os (),(111111000000??????????tAAtstAAts2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??42 第 10章 數字信號最佳接收 式中， ?s2為信號的功率； 而且 ?0和 ?1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于 Ai是余弦波的振幅，所以信號 si(t, ?i, Ai)的功率 ?s2和其振幅 Ai的均方值之間的關系為 2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??2,1,20,2/1)( ???? if ii ????22 2][ siAE ??43 第 10章 數字信號最佳接收 ? 接收矢量的概率密度 : ?由于接收矢量不但具有隨機相位，還具有隨機起伏的振幅，故此概率密度 f0(r)和 f1(r)分別可以表示為： ? ? ?? ? ???20 0000000 00 ),/()()()( ddAAffAff rr? ? ?? ? ???20 1111110 11 ),/()()()( ddAAffAff rr44 第 10章 數字信號最佳接收 經過繁復的計算，上兩式的計算結果如下： 式中 n0 － 噪聲功率譜密度； ?n2 － 噪聲功率。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的 f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件： ? ? ??s sT T bEdttsdtts0 0 121020 ),(),( ???? ? ???20 00000 )/()()( dfff rr?? ? ???20 11111 )/()()( dfff rr38 第 10章 數字信號最佳接收 若接收矢量 r 使 M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“ 0‖， 若接收矢量 r 使 M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“ 1‖。 ? 當兩種碼元正交，即相關系數 ? 等于 0時，誤碼率等于 ? 例如， 2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。對于已調信號，若采用的是2PSK或 2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是 (1/Ts) Hz。所以 ? 的取值范圍在 1 ? ? ? +1。 21)0(21)1()0/1()0()1/0()1(222222?????????????????????? ??????dxePdxePPPPPPbxaxe?? ???? ????25 第 10章 數字信號最佳接收 ?當先驗概率相等時： P(0) = P(1) = 1/2， a = b。 ?由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。設在一個 M 進制數字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是 s1， s2， … ， si， … ， sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。0 )()0()()1( 01 rre dfPdfPP rrrrA0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) )()0()()1( 39。 由接收矢量決定的兩個聯(lián)合概率密度函數 f0(r)和 f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把 r 當作 1維矢量畫出。 Hn fn 02 ??? ? ?????? ?? ? sTkndttnnf020)(1e x p21)(??n)()()(),()( 2121 kkk nfnfnfnnnff ?? ??n7 第 10章 數字信號最佳接收 ? 在碼元持續(xù)時間 Ts、噪聲單邊功率譜密度 n0和抽樣數 k（它和系統(tǒng)帶寬有關）給定后， f(n)僅決定于該碼元期間內噪聲的能量： ? 由于噪聲的隨機性，每個碼元持續(xù)時間內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸的碼元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。 ? 假設：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為 0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為 n0；并設發(fā)送的二進制碼元為“ 0‖和“ 1‖，其發(fā)送概率分別為 P(0)和 P(1)，則有 P(0) + P(1) = 1 ? 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于 fH，則根據低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率 2fH。這樣，此 k 維聯(lián)合概率密度函數可以表示為 ? 當 k 很大時，在一個碼元持續(xù)時間 Ts內接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成 ? ? ???????? ??? ??kiinknkkk nnfnfnfnnnf1222121 21e xp21)()()(),(??????????kiisHkii nTfnk1212211????kiisHTsnTfdttnT s120221)(16 第 10章 數字信號最佳接收 ? 利用上式關系，并注意到 式中 n0 － 噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯(lián)合概率密度函數可以改寫為： 式中 n = (n1, n2, …, nk) － k 維矢量，表示一個碼元內噪聲的 k個抽樣值。 ? 判決規(guī)則 設在一個二進制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“ 1‖的概率為 P(1)，發(fā)送碼元“ 0‖的概率為 P(0)，則總誤碼率 Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) － 發(fā)送“ 1‖時，收到“ 0‖的條件概率； Pe0 = P(1/0) － 發(fā)送“ 0‖時，收到“ 1‖的條件概率； 上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) )0/()0()1/()1( 10 APPAPPP e ???? 0 )()1/( 10 A dfAP rr ?? 1 )()0/( 01 A dfAP rr13 第 10章 數字信號最佳接收 將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示 Pe是 r0?的函數。 在發(fā)送“ 0‖和發(fā)送“ 1‖的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為： 0)()0()()1( 0001 ?? rr fPfP)()()0()1(0100rrffPP ?)()()0()1(10rrffPP ?)()()0()1(10rrffPP ?A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) 若 f0(r) f1(r)，則判為“ 0‖ 若 f0(r) f1(r)，則判為“ 1‖ 15 第 10章 數字信號最佳接收 這個判決準則常稱為最大似然準則。 ? ? ? ??????? ????????? ?? ?? ss TT dttstrnPdttstrnP 020020 10 )()(1e xp)0()()(1e xp)1(? ? ? ??????? ????????? ?? ?? ss TT dttstrnPdttstrnP 020020 10 )()(1e xp)0()()(1e xp)1(? ? ? ?? ? ????? s sT T dttstrPndttstrPn 0 0 202110 )()()0(1ln)()()1(1ln?? ? ss TT dttsdtts 0 210 20 )()(18 第 10章 數字信號最佳接收 若 式中 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是 s1(t)。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“ 1‖。 dxeP cxe ? ???? 22221 ?????? ??? sT dttstsc 0 210 )]()([2126 第 10章 數字信號最佳接收 ? 先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別。 ???????? ?????????????????? ???00 2)1(212)1(121nEe r f cnEe r fP bbe??? ?? x z dzexe r f 0 22)( ?)(1)( xe r fxe r f c ??30 第 10章 數字信號最佳接收 ? 誤碼率曲線 dB 31 第 10章 數字信號最佳接收 ? 最佳接收性能特點 ? 誤碼率僅和 Eb / n0以及相關系數 ?有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據的亂猜。當 k 增 大到 ?時，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時只要 Eb/n0等于 ( dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。對于隨相信號而言，非相干接收已經是最佳的接收方法了。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號最佳接收機的一樣。 將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令 則有 式中 ??? ????????? ? dxxfdxxfdxxfxf 2221221 )()()()()()( *21 xkfxf ?0221 )()(),()( ftjefSxffHxf ???0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHr ??? ??? ?????????????????? dffSE 2)(52 第 10章 數字信號最佳接收 而且當 時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比 2E/n0。 k是一個任意常數，它與 r0的最大值無關；通常取 k ＝ 1。 ? ? ss fTjfTj eefjfH ??? 22 121)( ?? ??延遲 Ts 理想 積分器 ＋ － 60 第 10章 數字信號最佳接收 ? 【 例 】 設信號的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。哪個匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就判決那個為輸出。它表示只有輸入電壓 r(t) = s(t) + n(t)時，在時刻 t = Ts才有最大的輸出信噪比。由此圖可見，只有當 t = Ts時，兩者的抽樣值才相等。 ? ??????????????????????????????????????????????????????)(2c o s2s i n)(2c o s)(2s i n)()(2s i n2c o s)()(2c o s)(2c o s)()(020020000000000tTfdfrdfrdfrtTfdfrtTfdtTfrtyst