高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)(完整版)
【正文】 代入萊布尼茨公式 ,得 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(???????????xexexeyxxx22!2 192022202 2182192220 ???????? xxx exexe)9520(2 2220 ??? xxe x2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 11 第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 重點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法 難點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法的應(yīng)用，對數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用。 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 12 第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 四、小節(jié) 五、作業(yè) 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 13 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 復(fù)習(xí) :函數(shù)的表示法 : 解析式 y=f(x) x∈ D, 這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù) 2 間接表示 (1)由一個方程 F(x,y)=0 所確定的函數(shù) 例 可確定函數(shù) , (2)由兩個方程確定 (帶一個中間變量 )參數(shù)方程 : t是參數(shù) 方法 (1)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù) . 122 ?? yx 21 xy ????????)()(tyytxx把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù) , 叫做隱函數(shù)的顯化 . 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 14 2 隱函數(shù)的定義 一般地 ,如果變量 x和 y滿足一個方程 F(x,y)=0,在一定條件下當(dāng) x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時 ,相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在 ,那么就說方程 F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù) 例 1 求由方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 0??? exye ydxdy解 我們把方程兩邊分別對 x求導(dǎo)數(shù) ,注意 y=y(x), 方程左邊對 x求導(dǎo)得 ? ? ,dxdyxydxdyeexyedxd yy ?????方程右邊對 x求導(dǎo)得 0)0( ??0??? dxdyxydxdye y所以 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 15 從而 )0)( ????? yy exex ydxdy注意 :在這個結(jié)果中 ,分式中的 y=y(x)是由方程 所確定的隱函數(shù) 0??? exye y例 2 求由方程 所確定的隱函數(shù) x=0處的 導(dǎo)數(shù) 032 75 ???? xxyy0?xdxdy因?yàn)楫?dāng) x=0時 ,從原方程得 y=0,所以 21?0?xdxdy解 把方程兩邊分別對 x求導(dǎo) ,由于方程兩邊的導(dǎo)數(shù)相等 , 021125 64 ???? xdxdydxdyy由此得 2521146???yxdxdy所以 2021/6/16 泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 劉照軍 16 例 3 求橢圓 在點(diǎn) 處的切線方程 (圖 26) 191622?? yx ?????? 323,2解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道 ,所求切線的斜率為 2??? xyk橢圓方程的兩邊分別對 x求導(dǎo) ,有 0928 ??? dxdyyx從而 yxdxdy169??當(dāng) x=2時 , 代入上式得 323?y2?x
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