【正文】 160=400，所以399 個(gè)座位不夠；有 1 個(gè)小組進(jìn)行了精確計(jì)算，發(fā)現(xiàn) 399個(gè)座位夠。 教師應(yīng)該如何處理呢？ 情境二： 某校期末考試卷上一道估算題： 每個(gè)足球 78 元，要買(mǎi) 2 個(gè)足球，請(qǐng)你估計(jì) 150 元夠嗎？ 閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生幾乎全是用精算算出結(jié)果的，即 78 2=156（元） 156﹥ 150， 所以不夠。但由于理論研究的缺乏、課程設(shè)計(jì)及實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)不足，教師們?cè)诠浪憬虒W(xué)和評(píng)價(jià)中遇到了許多困惑，本專題我們就一起對(duì)估算的價(jià)值和估算能力的培養(yǎng)進(jìn)行討論，希望能引起老師們一些思考。最后，我們來(lái)到熱點(diǎn)聚焦，分享2020 年春季培訓(xùn)中和在線研討中老師們們對(duì)若干問(wèn)題的想法，希望他們的想法能僅以激發(fā)老師們思維的碰撞。更進(jìn)一步，我們還需要幫助教師思考：如何科學(xué)地培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算技能，如何合理地評(píng)價(jià)他們的運(yùn)算技能；除了運(yùn)算技能，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容還有什么，“數(shù)與代數(shù)”的核心目標(biāo)有哪些等更加深刻的問(wèn)題。關(guān)于運(yùn)算教學(xué)，我們聚焦到以下三個(gè)問(wèn)題： ； ； 。 【案例 1】 “尷尬”的估算 案例描述： 學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算基礎(chǔ)，在具體情境中讓學(xué)生用估算解決問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了以下三種情境。 生 2：用四舍五入法。在培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)中，你有哪些好的經(jīng)驗(yàn)和做法？ （ 3）在情境三中，教師一直強(qiáng)調(diào)“好”的估算的標(biāo)準(zhǔn)是“ 既湊整算得快，又與實(shí)際結(jié)果相差得盡可能小”，對(duì)于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)也贊同嗎？估算是否有“統(tǒng)一”標(biāo)準(zhǔn)？ 【案例 2】 TIMSS測(cè)試給我們的啟示 案例描述： 關(guān)于估算的評(píng)價(jià)問(wèn)題，也是廣大一線教師十分關(guān)注的問(wèn)題。那么 TIMSS 對(duì)估算是如何評(píng)價(jià)的呢？我們不妨看一下上述第 2 題的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)： 正確答案 將每段時(shí)間正確地按分鐘取整。 教師給學(xué)生充分思考、計(jì)算的空間，交流時(shí)學(xué)生發(fā)言熱烈。 的十分之一是 ,也就是一份是 ,兩份就是 .” 學(xué)生 7：“ 1，如果 1乘以 ,得 ,而 比 1小，它是 1 的五分之一，所以應(yīng)當(dāng)是比 還小。 = 四則混合運(yùn)算中： 327（ 27+75） =375 87 2247。我們?cè)谥v計(jì)算的時(shí)候，不單純地是講算理、講算法，那為什么有時(shí)候老師或孩子們都有這樣的困惑：覺(jué)得計(jì)算就是很單調(diào)的、很枯燥的，其原因就是我們就題講題了，就方法講方法了。效果也不甚理想。 討論問(wèn)題： ，與他進(jìn)行談話，了解這位學(xué)生思考的過(guò)程和錯(cuò)誤的原因。實(shí)際上為學(xué)習(xí)估算就奠定基礎(chǔ)。首先是對(duì)估算價(jià)值的認(rèn)識(shí)，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學(xué)習(xí)中有怎樣的作用。因此，估算作為數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)方面的一個(gè)新內(nèi)容，或者說(shuō)一個(gè)重要的方面提出來(lái)，是有道理的。 （ 4）估算對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用 估算在學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有一個(gè)非常重要的位置，并且是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想，通常我們叫近似或者逼近。 目前“估算”從學(xué)生角度來(lái)講的主要問(wèn)題有兩個(gè)：一是學(xué)生不知道什么選擇用估算，往往學(xué)生一看見(jiàn)有“大約”，就開(kāi)始估了。比如，三位數(shù)除以兩位數(shù)，你估一估這道題，它的商是幾位數(shù)？這個(gè)問(wèn)題就有價(jià)值。久而久之，學(xué)生估算的意識(shí)就會(huì)不斷加強(qiáng)。學(xué)生通過(guò)不斷地體會(huì)估算給他帶來(lái)的幫助和好處，從而不斷地提升他們估算的意識(shí)。 2．形成估算策略 首先，我們結(jié)合北京市石景山區(qū)古二小王靜燕老師的課例來(lái)談學(xué)生估算策略培養(yǎng)。 生 2：把這六個(gè)數(shù)都看成 40， 40 6=240（人）。 這節(jié)課的后半 段也是非常精彩，學(xué)生用了那么多種不同的策略來(lái)進(jìn)行估算，可謂是精彩紛呈。看到這個(gè)準(zhǔn)確結(jié)果，你們有什么想法？”這樣又一次引起了同學(xué)們熱烈地討論，當(dāng)學(xué)生把自己的估算結(jié)果和精確值進(jìn)行比較的時(shí)候，同時(shí)也和其他同學(xué)的 估算結(jié)果進(jìn)行比較的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)了精確結(jié)果的大致范圍。 ④ 尋找區(qū)間。只要你估算的結(jié)果，和實(shí)際要求解決問(wèn)題的結(jié)果是一致的，就應(yīng)當(dāng)算正確。如 TIMSS 測(cè)試題很有意思，史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面選項(xiàng)中選擇答案。希望老師們能夠嘗試著出一些好題目，提出一些好問(wèn)題，有利于學(xué)生估算 意識(shí)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生估算策略的選擇，不斷地提升學(xué)生的估算的能力。以前我們只把運(yùn)算定律用到簡(jiǎn)算上，其實(shí)運(yùn)算律不僅僅在此，更重要的是它能夠保證整個(gè)計(jì)算的正確 性，取得唯一的結(jié)果。誤把這樣一個(gè)計(jì)算的過(guò)程當(dāng)作了算理。 ⑶關(guān)于 這個(gè)案例的討論 具體到 ，孩子們做了各種推理，上面的這些方法都是把算理和法則融合在一起，有很高的思考價(jià)值。作為教師，在課堂上，應(yīng)該好好地保護(hù)學(xué)生這種可貴的創(chuàng)造精神。 生獨(dú)立探索（略） 師：誰(shuí)來(lái)解釋一下，他是怎么想的？ ⑴ 20 3=60 ⑵ 2 1 1 3 =3 3 60+3= 63 6 3 生 1：他是先把 21 分成兩份，一份是 20，一份是 1，然后用 3 乘 20 等于 60，還有 3 乘 1等于 3， 3 加 60 等于 63。謝謝你給我們一個(gè)豎式，本來(lái)是我要教的，結(jié)果你一寫(xiě)上來(lái)，就變成你教大家了，看明白了嗎？ 師：那我們來(lái)看這個(gè)豎式，他這個(gè)豎式是很有創(chuàng)意的 ，我們來(lái)看看你為什么這樣寫(xiě)？ 2 1 3 6 0 1 3 3+6 0 6 3 生 8：把這個(gè)約等于 60，在這里 3 乘 1 等于 3， 3 再加 60 等于 63。丁老師在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生，讓他們 用自己的方法來(lái)解決問(wèn)題，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。 面對(duì)學(xué)生各種各樣的算法，教師精心地設(shè)問(wèn)，引發(fā)了學(xué)生更深層面的思考。其實(shí)把這個(gè)算式留 在黑板上，讓孩子進(jìn)行比較，在比較中進(jìn)行思考，通過(guò)思考加深對(duì)乘法的認(rèn)識(shí)。前面我們討論了學(xué)生在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，現(xiàn)在針對(duì)如何避免學(xué)生計(jì)算的錯(cuò)誤提出幾點(diǎn)建議： （ 1）要深入了解學(xué)生計(jì)算的現(xiàn)狀，準(zhǔn)確分析錯(cuò)誤的原因 作為老師，只有真正地了解了學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，準(zhǔn)確地分析出學(xué)生錯(cuò)誤的原因，才能有的放矢對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效 地指導(dǎo)。 = 8”為例，這道題錯(cuò)誤的原因又是什么呢？在與學(xué)生交流時(shí)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生不管被除數(shù)和除數(shù)小數(shù)位數(shù)各有多少位，都給化成整數(shù)了，所以 除以 就得 8”。當(dāng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)真正錯(cuò)誤原因后，學(xué)生恍然大悟，“我怎么一下子把錯(cuò)誤的口訣記了這么長(zhǎng)的時(shí)間呢？”；另外老師們提到的除數(shù)是小數(shù)的除法，把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)計(jì)算，學(xué)生干脆把討厭的小數(shù)點(diǎn)全部劃掉，就是 144 除以 18，像這樣的學(xué)生，教師一定要把他找來(lái)，讓他自己反思，幫助他找原因，老師一定要給予學(xué)生具體地指導(dǎo)，而一對(duì)一地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)是非常重要的。 （ 2）處理好展開(kāi)和壓縮的關(guān)系 計(jì)算教學(xué)中要處理好一個(gè)關(guān)系 —— 展開(kāi)和壓縮的關(guān)系。 3 549247。 志品質(zhì)等層面。 以上，我們?yōu)榇蠹覓伋隽艘恍┌咐?，提了一些思考?wèn)題，也布置了作業(yè)。 2=45??=25(米 )。 生 1：我是這么想的紙條分三份不方便我就畫(huà)了一個(gè)圖。 (3 5)＝ 4247。同時(shí)我們有的同學(xué)能夠?qū)⒔裉煳覀儗W(xué)的新問(wèn)題利用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“商不變的性質(zhì)”轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的問(wèn)題來(lái)解決，也都是非常好的方法。 生 6：我覺(jué)得不同的題可以用不同的方法，如 67247。在計(jì)算中，學(xué)生 發(fā)現(xiàn) 4247。 在實(shí)施算法多樣化的過(guò)程中，我們給老師提出 以下幾點(diǎn)具體的教學(xué)建議： 第一，鼓勵(lì)學(xué)生的獨(dú)立思考，主動(dòng)探索出計(jì)算的方法； 第二， 鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流； 第三，老師要善于比較不同方法的特點(diǎn)，挖掘不同算法的思維價(jià)值； 第四，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生分析比較，在學(xué)生的質(zhì)疑、辨析中促進(jìn)學(xué)生對(duì)自己方法的反思和提升； 另外，教師有責(zé)任用適當(dāng)?shù)男问?，向?qū)W生推薦一種比較好的算法，幫助學(xué)生進(jìn)行再次選擇。 3 也除不盡；學(xué)生覺(jué)得還是利用乘法比較方便，而且能夠解決這一類問(wèn)題。 3 方法更快。 3 1017 247。 師：這些方法，你比較喜歡哪一種？為什么？ 生 1：我覺(jué)得我的畫(huà)圖方法，分?jǐn)?shù)大了是不方便。 師：看他的方法怎么樣？ 生 4：他的方法看起來(lái)很明白，就是畫(huà)圖比較麻煩。 生 4：我還有不同的方法。 三、有關(guān)算法多樣化的教學(xué) 算法多樣化的價(jià)值主要體現(xiàn)在一下方面： 第一，算法多樣化有 利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，有利于學(xué)生的自我建構(gòu)，使他們的潛能得到充分地發(fā)展； 第二，算法多樣化有利于學(xué)生之間的交流，使學(xué)習(xí)資源能夠共享； 第三，算法多樣化有利于老師對(duì)學(xué)生的個(gè)性地了解，從而施行因材施教。 對(duì)于新學(xué)習(xí)的內(nèi)容要及時(shí)練，及時(shí)反饋，因?yàn)檫z忘是先快后慢的；對(duì)于舊知識(shí)不是不理不睬，在學(xué)習(xí)新的技能時(shí)要把學(xué)過(guò)的計(jì)算技能納入進(jìn)去；老師在選擇練習(xí)時(shí)，要把那些容易錯(cuò)的、易混的、具有強(qiáng)信息干擾的、思維定勢(shì)的題目多練。 4 54247。如兩位數(shù)加兩位數(shù)筆算加法：先把相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，滿十向十位進(jìn)一；而且這個(gè)步驟要一步一步來(lái)，等 到熟練以后這個(gè)過(guò)程就可以壓縮了，壓縮到學(xué)生不加思索就能做出來(lái)。前面我們也看到了張?zhí)煨⒗蠋熀屠钭婀蠋煹慕虒W(xué) 經(jīng)驗(yàn)，他們不是海練、不是盲目地練，不是用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)提高學(xué)生計(jì)算的正確率。 以“ 49+149+1=0”為例，學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？混合運(yùn)算的順序?qū)W生是清楚，為什么有近 50%的孩子會(huì)出錯(cuò)呢？學(xué)生對(duì)于形式上相似而實(shí)質(zhì)不同的算式分辨不清，這就需要學(xué)生具有細(xì)致辨別的能力。那么在這馬虎的背后是不是要細(xì)細(xì)地思考學(xué)生到底為什么出錯(cuò)呢？我們對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題做了調(diào)研，下面把學(xué)生的錯(cuò)誤原因和老師們進(jìn)行交流。雖然占用了一些時(shí)間，但這個(gè)過(guò)程是非常重要的。如老師提問(wèn)計(jì)算結(jié)果的“ 60”、“ 3”各表示什么意思，在圖中你能夠找到它嗎？教師幫助學(xué)生在口算、豎式和直觀圖建立它們之間的聯(lián)系，巧妙將算式和實(shí)物相結(jié)合。還有的同學(xué)用豎式來(lái)計(jì)算， 2 1 3 6 3 在豎式中還含有不同的方法， 2 1 3 6 0 1 3 3+6 0 6 3 這位被老師稱為很有創(chuàng)造性的算法，算式里將估算 和運(yùn)算相結(jié)合，老師給了學(xué)生一個(gè)交流的平臺(tái)，并熱情地給予鼓勵(lì)。道理還是有一點(diǎn)的，對(duì)不對(duì)？我覺(jué)得這個(gè)曾同學(xué)還是很不錯(cuò)的，老師沒(méi)教過(guò)他，他自己發(fā)明了一個(gè)豎式，就是發(fā)明的這個(gè)豎式 ，和我們現(xiàn)在規(guī)定的豎式不大一樣，我建議你用這樣的豎式來(lái)計(jì)算，可以嗎？ 師：我就把你有創(chuàng)意的豎式，很不忍心地擦掉了，同學(xué)們我們今天學(xué)的乘法的豎式，是我們今天學(xué)的重點(diǎn)，但是我們?cè)诮鉀Q這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，我們還可以用昨天學(xué)的知識(shí)，那就證明昨天的知識(shí)和今天學(xué)的知識(shí)肯定是有聯(lián)系的，對(duì)不對(duì)？有怎么樣的聯(lián)系，我們來(lái)找找它們之間的聯(lián)系好不好？ 師：我點(diǎn)一個(gè)豎式中的數(shù)，你告訴我他相當(dāng)于橫式中哪一步呀，你把它圈出來(lái)吧。 師：好，我們一起來(lái)看這個(gè)，這正是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，用豎式來(lái)計(jì)算乘法，看明白了嗎？ 生 3：看明白了。在新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，如小數(shù)乘小數(shù)學(xué)生第一次接觸，一定要幫助學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，理解計(jì)算的道理，包括利用直觀圖、老師對(duì)學(xué)生的分析講解等；讓學(xué)生在理解的過(guò)程中，掌握具體的計(jì)算方法。這種方法非常直觀，通過(guò)陰影部分與整個(gè)圖的關(guān)系得出陰影占百分之六，百分之六就是 。 算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的；具體的計(jì)算方法（主要指計(jì)算法則）是四則運(yùn)算的基本程序和方法。運(yùn)用運(yùn)算定律能夠保證計(jì)算結(jié)果的唯一性，這就是算理。關(guān)于如何去 評(píng)價(jià)估算的結(jié)果問(wèn)題，需要我們不斷探索和研究的問(wèn)題。 關(guān)于評(píng)價(jià)問(wèn)題，我們認(rèn)為學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)他們大膽地嘗試，鼓勵(lì)他們積極解釋自己的觀點(diǎn)，交流自 己的看法。 同時(shí)不同年齡的學(xué)生，要有不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 ⑤ 兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)往大了估，一個(gè)數(shù)往小了估，或者一個(gè)數(shù)估一個(gè)數(shù)不估。 ⑶教師可以適當(dāng)?shù)诳偨Y(jié)具體的估算的策略 估算策略主要有： ① 湊整的方法。 下面就估算策略問(wèn)題，提出一些建議。 生 4：這六個(gè)數(shù)都在 35上下，如果把這六個(gè)數(shù)平均一下大約就在 35，所以可以把 35 看作中間數(shù)， 35 6=210（人） 3）教師評(píng)價(jià)：同學(xué)們的估算方法都有一定的道理。 1）老師在海報(bào)上看中了幾樣商品，準(zhǔn)備去超市 購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)同學(xué)們幫我想一想：帶 100 元錢(qián)夠不夠？ 保溫杯： 元 巧克力：