【正文】 例（習）題的教育價值 二、教師應加強對波利亞解題思想的理解 四、提高學生解題能力的要素分析 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 六、解題錯誤分析 案例 1：老師，你該告訴我們你是怎么想到的？ 問題 :已知：如圖， H為△ ABC內任意一點，連結 AH并延長交 BC于 D，連結 BH并延長交 AC于 E，連結 CH并延長交 AB于 F，求證： DH/AD+EH/BE+HF/CF=1. A B D C F E H 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” A B D C F E H 變證為猜！猜 DH/AD+EH/BE+HF/CF=? 一般問題 ——特殊化方法 ——類比思想 ——回歸特殊問題 ——一般結論 一、要讓學生“知其然，更知其所以然！” 案例 2：這樣的啟發(fā)有用嗎？ 問題：如圖 1，已知△ ABC中， AB=AC,P是△ ABC內部任意一點，將AP繞點 A順時針旋轉至 AQ，使 ∠ QAP=∠ BAC，連結 BQ， CP，則BQ=CP”小亮是一個愛動腦筋的同學，他通過分析證明了△ ABQ≌ △ ACP，從而證得 BQ=CP之后，將點 P移動到等腰△ ABC外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn) BQ=CP仍然成立，請你就圖 2給出證明。因此，本例應讓學生默讀問題，自主分析題中信息，并嘗試用自己的語言解釋題目中的信息。 故此，問題解決后，教師應組織學生反思思維的探索過程，評價同伴的解題方法，并從中進行分析、歸納、比較和選擇，以提高數學解決問題與數學思考的能力。 ∠NPF ∴ ∠BMN +∠CNM =180 176。 ,求 ∠ BMN +∠CNM. A B E F C M N P 生 3：我利用外角定理 ∠ BMN =∠A +∠ANM ， ∠ CNM =∠A +∠AMN 。 這是我們可以經常見到的 ? 發(fā)現(xiàn)教學 ? 中的現(xiàn)象 !! 應該提醒學生： ? 這里有些什么圖形 ?”（平行線 。 ∴∠BMN +∠CNM = 100 176。 t） = 240176。 雖然這張表不是萬能的，但在解決問題時確實可起到 “ 啟發(fā)與指導的 作用 ” 。 他是這樣啟發(fā)引導的： 二、加強對波利亞解題思想的理解 “未知的是什么 ?” “一個正方形 ” “ 已知數據是什么 ?” “一個給定的三角形，其它沒有。什么樣的部分條件容易滿足 ?” “兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是容易畫出來的 !” “畫張圖 !”學生畫出圖 2。畫出小的正方形與大的正方形。 開放型的念頭誘發(fā)。數學思想較之于數學基礎知識及常用數學方法又處于更高層次，它來源于數學基礎知識及常用的數學方法 , 在運用數學基礎知識及方法處理數學問題時，具有指導性的地位。 請思考下列問題： 為什么要配方，理由是什么？ 什么問題可用配方法解決？ 用配方法解決問題時要注意什么問題？ 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 一、關于配方法 基本功能 1：變換形式。 3=(cm),則一個碗的高度就是 =6(cm),所以 y=(x1)+6. T:同學們都明白了嗎 ?既然經過分析 ,我們確定了這個函數是一次函數模型 ,那么對照一次函數的一般形式 ,在這個問題中分別是指什么呢 ? S6:k是指每加一個碗的增長高度 ,b指的是一個飯碗高度 . 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 T:在此問題中 ,我們對賦予了實際意義 ,有助于大家能更深刻理解的作用 .但剛才是利用的實際意義直接計算出它們的值 ,用的是算術方法 .那么 ,是否還有別的方法可以求出這兩個未知系數 ? S7:可以利用列方程組求解 .即當時 x=4,y=。 ???????222111cybxacybxa?????43yx???????222111523523cybxacybxa三、換元法 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 四、轉化（化歸）思想 ——學數學本質上就是學轉化 遵循陌生 → 熟悉；復雜 → 簡單原則 如：高次 → 低次；多元 → 一元； 方程、不等式與函數互化；數形互化； 不規(guī)則圖形 → 規(guī)則圖形；分散條件 → 聚集條件等等 例 求方程 的解的個數。 AC=6cm，BC=8cm，點 P在斜邊 AB上移動 .當△ ACP是等腰三角形時 ,求 BP的長． 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 圓，圓，中垂線！ 例 5.（ 08浙江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形 OABC的兩邊分別在 x軸和 y軸上， OA＝ 10厘米， OC＝ 6厘米，現(xiàn)有兩動點 P， Q分別從 O， A同時出發(fā)，點 P在線段 OA上沿 OA方向作勻速運動，點Q在線段 AB上沿 AB方向作勻速運動，已知點 P的運動速度為 1厘米／秒． （ 1）設點 Q的運動速度為 ／秒，運動時間為 t秒， ①當△ CPQ的面積最小時 ,求點 Q的坐標； ②當△ COP和△ PAQ相似時 ,求點 Q的坐標． （ 2）設點 Q的運動速度為 a厘米／秒， 問是否存在 a 的值 ,使得△ OCP與△ PAQ 和△ CBQ 這兩個三角形都相似？若存在， 請求出 a 的值，并寫出此時點 Q 的坐標； 若不存在，請說明理由． 三、解題教學要滲透與提煉數學思想方法 七、從特殊到一般思想（歸納推理或合情推理） ——尋求解題思路的基本策略 例 1.（河內塔問題）如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片。 水平二、 把問題（ 1）看成 m的應用題，為解應用題需要列方程，為找等量關系，才用判別式 =0（并非必須） ①等量關系：△ (m)=0。 五、充分提高例（習）題的教育價值 講背景、多聯(lián)系 )0(ba( 2 ))0,0()1(?????????????fdbbafdbecafedccabcbcaba＞＞＞＜ D A C E B ba c c F 五、充分提高例（習）題的教育價值 （ 3） 引例 如圖 1所示 ,有一塊銳角三角形余料 ABC,它的邊 BC=12, 高線 AD=8,現(xiàn)要把它加工成正方形零件 ,使正方形的一邊在 BC上 , 其余兩個頂點分別在 AB,AC上 .問加工成的正方形邊長為多少 ? 例 1 已知△ ABC中 ,BC=12,BC邊上的高 AD=8, 若并排放置的 2個相等的小正方形組成的矩形 ,內接于△ ABC(如圖 2),則小正方形的邊長為 多少 ? 并排放置 3個小正方形呢 ?如圖 4,若 并排放置小正方形有 n個 ,則這時小正方形 的邊長又為多少 ? 圖 4 五、充分提高例（習）題的教育價值 例 2 如圖 5,已知△ ABC中 ,BC=12,BC邊上的高 AD=8, 四邊形 PQMN為△ ABC的內接矩形 . (1)設 PQ=x,你能求出 PN的長嗎 ?(用含 x的代數式表示） (2)記矩形 PQMN的面積為 S,求 S的最大面積 . 圖 5DENMQPCBA例 3 如圖 6,在銳角△ ABC中 ,BC=12,△ ABC的面積為 48,D,E分別是邊 AB,AC上的兩個動點（ D不與 A,B重合） ,且保持 DE∥ BC,以DE為邊 ,在點的異側作正方形 DEFG. (1)當正方形 DEFG的邊 GF在 BC上時 ,求正方形 DEFG的邊長 . (2)設 DE =x,△ ABC與正方形 DEFG重疊部分的 面積為 s,試求 s關于 x的函數關系式及的取值 范圍 ,并求出的最大值 . 圖 6FGEDCBA 五、充分提高例（習）題的教育價值 例 4 如圖 9,銳角△ ABC中 ,BC=12,AH⊥BC 點 H,且 AH=8, 點 D為 AB邊上的任意一點 ,過點 D作 DE∥BC, 交 AC于 點 E,AH于 AF為 (0＜ x＜ 8),以 DE為折線將△ ADE 翻折 ,所得△ A’DE與梯形 DBCE重疊部分的面積記為 y(點 A的對稱點 A’落在 AH所在直線上） . 請問當 x取何值時 ,y的值最大 ?最大值是多少？ F圖 9HA 39。 主視圖 俯視圖 ( 圖一 ) 講通性通法 ——一般有用的方法 五、充分提高例（習）題的教育價值 學生要懂得規(guī)律性，或能在自己的頭腦中想得起模型， 才填得出帶數字的俯視圖。 五、充分提高例（習）題的教育價值 從另一角度，這題還可以培養(yǎng)分析 綜合方法呢 ! 主視圖、俯視圖都有三列。但發(fā)現(xiàn)遇到類似問題，學生不去思考，而是用白紙拓畫操作，雖然正確率提高了，但思維活動停留在較低層次上，這不是我們期待的結果。 這種教法，教師精心制作課件，是想把抽象的圖形變換變得更加形象生動。 五、充分提高例（習）題的教育價值 教法 3， “ 學 ” 主 “ 教 ” 輔。 O A B x C D P y 五、充分提高例（習）題的教育價值 案例 3： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 課本采用度量斜邊和斜邊上的中線長度直觀地比較得出，這樣操作誤差較大，學生參與性不高。 五、充分提高例（習）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。 分析 4，延長六邊形的各邊，可得三角形△ ∠ FAB+∠ DCB+∠ FED=2(x+y+z)=360176。 五、充分提高例（習）題的教育價值 案例 5要及時總結解題的規(guī)律和方法 例 ，函數 y=ax2+bx+c的圖象經過點（ 1， 2），且與 x軸的交點的橫坐標分別為， x1， x2，其中 2 x1 1,0 x2 1,下列結論①abc0。具有較強的綜合性。于是，從這個角度看問題，最容易想到的是用 CN： AC=CM： CD來證明平行！ 不妨設 AB=c， AC=b，則 CE=AB=c， ∵ N為 AE的中點， ∴ CN=(b+c)/2， 故 CN： AC=(b+c)/ M為 BC中點，故 CM=1/2BC，因此，要計算 CM： CD的值，只需找到 CD與 BC的關系即可，從而自然想到角平分線性質， ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴ CD:BD=b:c，則 CD:BC=b:(b+c)， 于是 CM： CD=(b+c)/2b， 故 CN： AC=CM： CD， ∴ MN∥AD 。 形成變式問題的常用思路 : A
。 E圖 4NMDAB C 五、充分提高例（習）題的教育價值 強化變式引申，發(fā)展思維能力 變式教學作為中國數學教育的特色，有豐富的實踐與理論基礎。 ? 回憶鞏固基礎知識： 函數圖象能清楚地反映出函數中兩個量之間的對應關系，這種關系在解析式中的表現(xiàn)就是關于系數的方程或者不等式 ? 提煉歸納解決問題的方法： ? 這類問題中的結論可分為三類， ? 一是利用圖象或已知條件中的信息（圖象經過點（ 1，2）），可直接得出的結論，如系數 a， c， b24ac，等的符號或滿足的等式。③ 2ab0。已知 AB∥ DE,BC∥ EF,CD∥ ∠ A+∠ C+∠ E的度數。 分析 1.（課本證明方法，如圖 2 ）注意到教材的前后聯(lián)系，可把六邊形化歸為四邊形，只要連結AD,可證 ∠ FAB=∠ EDC,同理可得， ∠ B=∠ E,∠ C=∠ ∠ A+∠∠ C+∠ E＝1/2 720176。 方法 2：分割法，把直角三角形剪一刀，剪成兩個等腰三角形，應該如何確定刀痕？ 五、充分提高例（習）題的教育價值 案例 2課時的例 2：一個六邊形如圖 1所示。 這種教法，悟其 “ 漁識 ” 。學生從對知識的理解和運用上，只是看看聽聽，沒有方法的指導，犯錯誤不可避免。 啟發(fā) 1:現(xiàn)在我們將圖 3右下角的頂點記作 A,則圖 3右下角的小正方形繞頂點 A旋轉 180176。 這也是從簡單到復雜的變式訓練，符合方法論大師笛卡兒 “ 從最簡單的情形開始 ” 的教導 ! 上述的分析與講法，不是單純的就題論題。 主視圖有種種填法，不同的填法間進行比較后，這題也就講好了。二是在具體解決問題的過程中 ,有機的滲透從特殊到一般 ,分類討論 ,數形結合 ,方程及函數等思想方法 ,讓學生在必要的觀察、猜想、類比、推理與交流中感悟這些思想方法的概括與內化過程 ,對于喚醒學生的認知內驅力 ,促進他們的思維發(fā)展 ,進而形成有效的思維策略有著顯著的效果 ,也充分體現(xiàn)了數學教育的價值 . (具體見中數參 2020年第 9期） 五、充分