【正文】 xyxDyx d x d yed x d yed x d ye 把左右兩個(gè)二重積分化為極坐標(biāo)下的形式，于是 ??? ??? ???? ?? NN N yxN deddyedxeded 20200 0020 2222 ?????? ???? 即： ??? ??? ???????? N xN xN x x d xedxedxe 20200222 22 ?? 12．證明：設(shè) L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)?D，由格林公式得 ??? ???DL d x d yxydxxydyyx )]()(1[)()( ???? 因?yàn)閰^(qū)域 D 關(guān)于直線 y=x對(duì)稱，所以 ???? ?DD dx dyydx dyx )()( ?? 于是， ??????? 2)(1)(2)]()(1[)()( ?????? ????? dx dyyydx dyyydxxydyyx DDL 13．證明：由 )0,0,2,1(,11 ???? ??nnnnnn banbbaa ?，顯然有 1212 bbaa ? 2112 bbaa ?? 2323 bbaa ? 3113223 bbabbaa ??? ………… nnnn bbaa 11 ?? ? 11111 ??? ??? nnnnn bbabbaa 由正 項(xiàng)極數(shù)的比較判別法可知 (1)若 ???1n nb收斂，則 ???1n na收斂；（ 2）若 ???1n na發(fā)散，則 ???1n nb發(fā)散。 16．設(shè) )(0 xf 在區(qū)間 ? ? )0(,0 ?aa 上連續(xù)，而且 ? ? ),2,1(,0,)()(0 1 ???? ? ? naxdxxfxf x nn，試證：無(wú)窮級(jí)數(shù) ???0 )(n n xf在 ? ?a,0 上是絕對(duì)收斂的。 7求微分方程 12552 2 ??????? xxyy 的通解。 ? ? ? ?211 ???????? xyyxyx 的通解為 ? ? ,121 ???? nxcxcxy 求非齊次線性方程 ? ?yx ??1 xyyx ??? 的通解。 60、求 xxey ?? 的通解。 5一曲線通過(guò)點(diǎn) ? ?3,2 ，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線線段被中點(diǎn)平分，求這個(gè)曲線方程。 4球體 2222 2 Rzyx ??? 內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的重心。 3在平面 xoy 上求一點(diǎn)，使它到 01620,0 ????? yxyx 及 三直線的距離平方之和為最小。 2求橢球面 12 222 ??? zyx 上 平行平面 02 ??? zyx 的切平面方程。 設(shè) .,s i n,c o s,22 xzyxuyxuuvvuz ?????? 求而 設(shè) .,23,ln2xzyxuyxuvuz ?????? 求而 32 ,s in, tytxez yx ??? ? 而 求 dtdz 11. 設(shè) ? ? .,a r c t a n dxdzeyxyz x 求而 ?? 12. 設(shè) ? ? dxdxzxaya zye ax ?? 求而 ,c o s,s i n,12 ????? 1 求微分方程 xeyy x 2co s????? 的通解。 6微分方程 013 ????yy 的通解是（ ）。 5微分方程： 的通解為xxydxdy 42 ?? （ ）。 5齊次線性方程 的通解為032 39。 1函數(shù) z=x2+y2 在點(diǎn)（ 1， 2）到（ 2， 2+ 3 ）的方向的方向?qū)?shù)為（ ）。 微分為方程 02 ?????? yyy 的通解是（ ）。3 C、 ? ? S in xyeyey xx ??? 23 39。 ??yxy 的通解為 ???y A、 xCxnC 21 1? B、 xnC ??1 C C、 Cn ??1 D、 22 1 CnC ?? 6方程 0,0,139。 2 yyaxyy ???? 是（ ） A、可分離變量方程 B、齊次方程 C、線性非齊次方程 D、線性齊次方程 6已知函數(shù) ??xy 滿足方程 xyyxy ln39。c o s,2c o s,c o s,1 ?（這里 1,0 ?? ll ）正交的區(qū)間是 （ ） A、 ? ??2,0 B、 ? ???,? C、 ? ?10? D、 ? ?1,1? 4設(shè) ??xf 是以 2? 為周期的函數(shù)，在區(qū)間 ? ???,? 上 ? ? xxf ? ，則其傅立葉級(jí)數(shù)中 cos3x及 Sin3x 的系數(shù) a3及 b3分別是 （ ） A、 0,94?? B、?94,0 C、 0,94? D、?94,0 4若函數(shù) ? ? ?2以xf 為周期，且 ? ? ? ? ? ?xfxxxf 則,20,2 ???? 的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn) 00?x收斂于（ ） A、 0 B、 2? C、 22? D、 24? 4能展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)的函數(shù)。 ( ) A、 ??2z? 連續(xù) B、 ??2z? 可微 C、 ??2z? 可微且 ? ? 。 ? ?yxZ, 滿足方程 ? ?xzzyz ????? ?。（ ） A、 nn ba ? B、 nn ba ? C、 nn ba ? D、 nn ba ? 設(shè)級(jí)數(shù) ???12n na收斂，則級(jí)數(shù) ??? ??1 1n nn aa ( ) A、絕對(duì)收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4設(shè)級(jí)數(shù) ???12n na， ???12n nb都收斂，則級(jí)數(shù) ? ???? ?1n nn ba （ ） A、絕對(duì)收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4已知級(jí)數(shù) ? ???? ???1 11nnn xxa 在 處收斂，則此級(jí)數(shù)在 處2?x （ ） A、條件收斂 B、絕對(duì)收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4函數(shù) ? ? ? ?xxf ?? 1ln 展開(kāi) x的冪級(jí)數(shù)，則 nx 的系數(shù)為 （ ） A、 n1 B、 ? ? nn 11 1?? C、 ? ? 111 ?? nn D、 ? ?11 1?? ?n n 4使函數(shù)系列 ? ??? ,c o s,2c o s,c o s,1 nxxx 正交的最小區(qū)間是 （ ） A、 ?????? 4,0? B、 ?,0 C、 ? ???,? D、 ? ??,0 4使函數(shù)系 ? ??? , S i n n xS i n z xS i n x 正交的最小區(qū)間是 （ ） A、 ? ??2,0 B、 ? ???,? C、 ? ??,0 D、 ?????? 4,0? 4使函數(shù)系?????? ??l xnS inl xnl xlxS inlx ????? 。39。? D、不可確定 6方程 039。1 yyfy ? 型 D、無(wú)法確定 70、下列方程是全微分方程的是（ ） A、 xeSinxyy ???2 B、 ? ? S in xyeyy x ??? 39。 求極限 ????? 22lim00 yx xyyxy ( ) 求極限 ???? 22lim 100 yxxy( ) 求極限 ?????? 22lim 1 yxxy( ) 求極限 ????? xyxyxy42lim00( ) 求極限 ????? 11lim00 xy xyxy( ) 求極限 ??? xSinxyxylim00( ) 設(shè) ? ? ? ? ? ? ???? 1,a r c s in1, xfyxyxyxf x則( ) 由線????????4422yyxz 在點(diǎn) ? ?5,4,2 處的切線與正向 x軸所成傾角為 ( ) 。 1微分方程 04 ????? yy 的通解為是（ ）。 50、微分方程 0136 ?????? yyy 的通解為（ ）。 5方程 的特解是滿足初始條件 3,03 00 ??????? ?? xx yyyy （ ）。 64 、 滿 足 微 分 方 程 xy?? 的 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) M （ 0 ， 1 ） 且 在 此 點(diǎn) 與 直 線y= 相切的積分曲線是12 ?x （ ）。 求函數(shù) ,1,1, ??????? yxyxez xy 當(dāng) 時(shí)的全微分。 2求曲面 3??? xyze z 在點(diǎn) ? ?0,1,2 處的切平面方程。 3求函數(shù) xyz? 在適合附加條件 1??yx 下的極大值。 4球心在原點(diǎn)，半徑為 R 的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。 50、計(jì)算 ,xyzdxdy???其中 ? 為球面 1222 ??? zyx ? ?0,0 ?? yx 的外側(cè)。 5求全微分方程的： xxy sin???? 的通解。 6已知齊次線性方程。 7求微分方程 xeyay ???? 2 的通解。 15．若 )0(lim 2 ???? ccan nn，試證 ???1n na收斂。)0(),()()( agxfxpxg ??? 證明： bxxfx ??? 0),()( 測(cè) 試 題 答 案 —— 高等數(shù)學(xué)Ⅱ 一、選擇題 1—— 10 BDDBA CACBD 11—— 20 CCBCA CCABA 21—— 30 BADAC DCBCC 31—— 40 ADACB DDABA 41—— 50 DBBBC DACCB 51—— 60 CBDCB DDDCA 61—— 70 ABBCB DDCBB 71—— 76 BACAD C 二、填空題 1． 1 2. ?? 3. 0 4. –1/4 5. 2 6. 0 7. 1 8. 4? 9. xx ececy 221 ??? 10. ??? ????? 13 1212 1211 ??tu 11. xxf cos)(sin 12. ? ?121 2 ?? xy 13. 223 14. xeccy 421 ?? 15. 321? 16. 2? 17. ? ???? ???? ??kji 94949924 18. (0,0) 19. 1/8 20. (0,7/3) 21. ?2 22. 2 23. 224 Rh? 24. ( aaa 307,52,52 ) 25. 13 26. –14/15 27. 1 28. 1 29. 2a2 30. 3 31. 0 32. 30111? 33. 43R? 34. 0 35. pR43? 36. pr454 37. 2h?? 38. 2b? 39. 0 40. 0 41. 334a? 42. ?3 43. 332R? 44. ?16 45. 12a 46. (0,0,a/2) 47. 32 48. (1,1) 49. xcxcy s inc o s 21 ?? 50. ? ?xcxcey x s in2co s 213 ?? ? 51. )22c o s 21 xs i mcxcey x ?? （