【正文】 ?? 14 分 19． （本小題滿分 14 分） (本小題主要考查 求 曲線的軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離、 曲線的切線 等知識(shí) , 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程 的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí) ) (1) 解 :設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ? ?,xy ,則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ? ?,2x? . ∵ OP OQ? , ∴ 1OP OQkk?? . 當(dāng) 0x? 時(shí) ,得 2 1yxx? ??,化簡(jiǎn)得 2 2xy? . ?? 2 分 當(dāng) 0x? 時(shí) , P 、 O 、 Q 三點(diǎn)共線，不符合題意，故 0x? . ∴曲線 C 的方程為 2 2xy? ? ?0x? . ?? 4 分 (2) 解法 1:∵ 直線 2l 與曲線 C 相切 ,∴直線 2l 的斜率存在 . 設(shè)直線 2l 的方程為 y kx b??, ?? 5 分 由2,2,y kx bxy???? ?? 得 2 2 2 0x kx b? ? ?. ∵ 直線 2l 與曲線 C 相切 , ∴ 24 8 0kb? ? ? ?,即 22kb?? . ?? 6 分 點(diǎn) ? ?0,2 到直線 2l 的距離221bdk????224121kk??? ?? 7 分 2213121k k????? ? ???? ?? 8 分 22132121k k? ? ? ? ?? 9 分 3? . ?? 10 分 當(dāng)且僅當(dāng) 2231 1k k?? ?，即 2k?? 時(shí)，等號(hào)成立 .此時(shí) 1b?? . ?? 12 分 12 ∴直線 2l 的方程為 2 1 0xy? ? ? 或 2 1 0xy? ? ? . ?? 14 分 解 法 2： 由 2 2xy? ，得 39。yx? ， ?? 5 分 ∵直線 2l 與 曲線 C 相 切 , 設(shè) 切 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ? ?11,xy ，其中 21112yx?， 則直線 2l 的方程為： ? ?1 1 1y y x x x? ? ?，化簡(jiǎn)得 2111 02x x y x? ? ?. ?? 6 分 點(diǎn) ? ?0,2 到直線 2l 的距離21211221xd x??? ? 21214121xx??? ?? 7 分 21 2113121x x????? ? ???? ?? 8 分 21 21132121x x? ? ? ? ?? 9 分 3? . ?? 10 分 當(dāng)且僅當(dāng) 21 2131 1x x?? ?，即 1 2x ?? 時(shí)，等號(hào)成立 . ?? 12 分 ∴直線 2l 的 方程為 2 1 0xy? ? ? 或 2 1 0xy? ? ? . ?? 14 分 解 法 3： 由 2 2xy? ，得 39。yx? ， ?? 5 分 ∵ 直線 2l 與曲線 C 相切 , 設(shè)切點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ? ?11,xy ，其中 2111 02yx??， 則直線 2l 的方程為： ? ?1 1 1y y x x x? ? ?，化簡(jiǎn)得 110x x y y? ? ? . ?? 6 分 點(diǎn) ? ?0,2 到直線 2l 的距離 12121ydx???? 1 1 221yy?? ? ?? 7 分 111321221y y????? ? ???? ?? 8 分 11132 2 1221y y? ? ? ? ?? 9 分 3? . ?? 10 分 當(dāng)且僅當(dāng)11321 21y y?? ?，即 1 1y? 時(shí)，等號(hào)成立 ,此時(shí) 1 2x ?? . ?? 12 分 13 ∴直線 2l 的方程為 2 1 0xy? ? ? 或 2 1 0xy? ? ? . ?? 14 分 20． （本小題滿分 14 分） (本小題主要考查二次函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)、分段函數(shù)等知識(shí) , 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí) ) (1) 解： ∵ ? ?00f ? ，∴ 0c? . ?? 1 分 ∵對(duì)于任意 x? R 都有 1122f x f x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, ∴函數(shù) ??fx的對(duì)稱軸為 12x??，即 122ba? ??，得 ab? . ?? 2 分 又 ? ?f x x? ，即 ? ?2 10ax b x? ? ?對(duì)于任意 x? R 都成立， ∴ 0a? ,且 ? ? ?210b? ? ? ． ∵ ? ?210b??， ∴ 1, 1ba??． ∴ ? ? 2f x x x??． ?? 4 分 (2) 解： ? ? ? ? 1g x f x x?? ? ?? ?? ?2211 1 , ,11 1 , .x x xx x x? ?? ?? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ??? ?? 5 分 ① 當(dāng) 1x??時(shí)，函數(shù) ? ? ? ?2 11g x x x?? ? ? ?的對(duì)稱軸為 12x ???， 若 112? ?? ?，即 02???，函數(shù) ??gx在 1,?????????上單調(diào)遞增； ?? 6 分 若 112? ?? ?，即 2?? ，函數(shù) ??gx在 1,2??????????上單調(diào)遞增，在 11,2?? ???????上單調(diào)遞減．