【正文】 連續(xù)型 其中 )|( jyYXE ? )|(1jiii yYxXPx ??? ???)(),()|(jjiji yYPyYxXPyYxXP??????)|( yYXE ? dxyxfx )|(? ?????)|( yxf條件概率密度 首頁 二、全數(shù)學(xué)期望公式 定理 1 對一切隨機(jī)變量 X和 Y， 有 連續(xù)型 是隨機(jī)變量 Y的函數(shù)，當(dāng) 時(shí)取值 因而它也是隨機(jī)變量。方差 稱隨機(jī)變量 的期望為 X的方差，即 計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 2)]([ XEX ?)( XD ]))([( 2XEXE ??)( XD 22 )]([][ XEXE ??首頁 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） 若 X和 Y相互獨(dú)立，則 CCE ?)( 0)( ?CD)()( XCECXE ? )()( 2 XDCCXD ??????niinii XEXE11)()()()()( YEXEXYE ?（ 4） 0)( ?XD 的充要條件是 1)]([ ?? XEXP返回 首頁 3． 性質(zhì) （ 5）（柯西 — 許瓦茲不等式） 等式成立當(dāng)且僅當(dāng) （ 6） 若 X為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，則 證 )()(|)(| 222 YEXEXYE ??1)( 0 ?? XtYP)()(1iXPXEi?? ???首頁 （ 7）若 X為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則 1( ) ( )kE X k P X k?????? ?? ?? 0 )(1)( dxxFXE ）（)1( ?? XP)2()2( ???? XPXP)3()3()3( ?????? XPXPXP??)()()( nXPnXPnXP ??????? ???最后對每一叢向列求和，即得。它滿足 ),( ji yx?,2,1( ?i ),2,1 ??jijp),( ji yxijji pyYxXP ??? ),(0?ijp 11 1?? ???????iji jp首頁 2． 二維分布密度 連續(xù)型 如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù) f（ x， y） ,使對任意的實(shí)數(shù) x， y有 則稱 （ X， Y） 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ， f（ x， y） 稱為（ X， Y） 的概率密度 ， 滿足： ? ??? ??? x y dudvvufyxF ),()( ，0),( ?yxf 1),( ?? ????????? d x d yyxf 首頁 3． 邊緣分布及獨(dú)立性 邊緣分布 設(shè) （ X， Y） 的分布函數(shù)為 ， 則 X， Y 的分布函數(shù) 、 ， 依次稱為關(guān)于 X和關(guān)于 Y 的邊緣分布函數(shù) ， 且有 )( yxF ，)(xFX )( yFY),()( ??? xFxF X ),()( yFyF Y ??? 獨(dú) 立 性 )( yxF ， ?? )( xF X )( yFY則稱隨機(jī)變量 X和 Y是相互獨(dú)立的。 若 1． 定義 則稱 首頁 定理 2（ 乘法公式 ） 2． 基本公式 假設(shè) 為任意 n個(gè)事件（ ）， nAAA ， ?212?n021 ?）（ nAAAP ??? )|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n ?）（）（ 121| ?nn AAAAP ?若 則 首頁 定理 3（ 全概率公式與貝葉斯公式 ） 設(shè)事件 兩兩互不相容， nBBB ， ?21 ??? iniB1?0?）（ iBP ni ,21 ?，?則（ 1）對任意事件 A，有 )|)(1iiniBAPBPAP （）（???（ 2）對任意事件 A ，若 ，有 0?）（ AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（（）（???首頁 五、獨(dú)立性 如果事件 A， B滿足 ）（）（）（ BPAPABP ? 設(shè) 是 n個(gè)事件，如果對于任意 和 ，有 nAAA ， ?21)2( ns ??s niii s ????? ?211）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP ?? 2121 ?則稱事件 相互獨(dú)立 。 具有三個(gè)特性： （ 1）可以在相同的條件下 重復(fù) 進(jìn)行； （ 2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并能事先 明確 試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果； （ 3）每次試驗(yàn)前 不 能 確定 哪個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。 首頁 二、概率的性質(zhì)： 1 0?）（ ?P2 ）（）（）（）（ EFPFPEPFEP ????3 )(1)( EPEP c ??4 設(shè) nEEE ， ?21兩兩互不相容 ，則 )11????niiiniEPEP （）（ ?5 設(shè)兩兩互不相容的事件 ， ?21 EE ???? iiE1?則對于任意事件 A，有 )1????iiEAPAP ?（）（首頁 三、概率的連續(xù)性 1．極限事件 對于事件 若 ， ?21 EE1?? nn EE1?n 則稱事件序列 }1{ ?nE n， 遞增 ， 若 1?? nn EE1?n 則稱事件序列 }1{ ?nE n，遞減。 離散型 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量 X的可能取值僅有有限個(gè)或可列無窮多個(gè) 。 首頁 4． 條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱為在條件 下，隨機(jī)變量 X的條件分布律 。 特別 當(dāng) 存在時(shí)，有 )()( xfxF ???)(t? dxxfe itx )(?????)(xf dtte itx )(2 1 ?? ? ???? ??5．特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1 對任何實(shí)數(shù) t， 1|)(| ?tX?證 1|||)(||)(| ???itXitXX eEeEt?首頁 性質(zhì) 2 證 性質(zhì) 3 設(shè) a， b為任意實(shí)數(shù)， ，則 Y的特 征函數(shù) 有 證 )()( tt XX ?? ???? )( tX? ]s i n[ c o s XtiXtE ）（）（ ???][ s i n][ c o s tXiEtXE ??][ s i n][ c o s tXiEtXE ?? )(tX??baXY ??)(tY? )()( atet XitbY ?? ?][)( )( baXitY eEt ??? ][ ) itbXati eeE ?? （][ ) Xatiitb eEe （? )( ate Xitb ?? 首頁 性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的 特征函數(shù)分別為 ， ， … ， 則和 若隨機(jī)變量 X的 n階絕對矩存在，即 ???|| nXE則 X的特征函數(shù) 有 n階導(dǎo)數(shù)，且有 )(tX?)0()()( )( kXkk iXE ??? nk ,2,1 ??rXXX ， ?21)(1 t? )(2 t? )(tr?rXXXY ???? ?21的特征函數(shù)為 ?)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?… 首頁 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布 ， 求 X的特征函數(shù) 。 則 )|( XYE)(xg]))([( 2XgYE ? ]))|([( 2XYEYE ??]|))([( 2 XXgYE ?]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE ????首頁 ]|))|([( 2 XXYEYE ??]|))()|([( 2 XXgXYEE ??))|([(2 XYEYE ?? ]|))()|(( XXgXYE ?由于 當(dāng) X取定值時(shí)是常數(shù)， )()|( XgXYE ?所以 ))()|(( XgXYE ? 0]|))|([( ??? XXYEYE故得 ]|))([( 2 XXgYE ? ]|))|([( 2 XXYEYE ??由定理 1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。假設(shè)當(dāng) A進(jìn)去時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營業(yè)員正在給 B辦事而另一名營業(yè)員正在為 C服務(wù)。 }|{ tXdttXtP ????}|{ tXdttXtP ????}{},{tXPtXdttXtP??????}{}{tXPdttXtP?????)()(tFdttf? dtt )(??)(t?)(t?首頁 3．生起率 假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，一個(gè) t 歲的元件的剩余壽命的分布與一個(gè)新元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。 例 2 研究某一商品的銷售量 一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù) X ，并且依賴時(shí)間 t，即隨機(jī)變數(shù) X（ t）， t=1， 2， … 首頁 例 3 國民收入問題 表示依賴于一個(gè)變動參量的一族隨機(jī)變量。 每次拋擲的結(jié)果與先后各次拋擲的結(jié)果是相互獨(dú)立的，并且出現(xiàn) 1或 0的概率與拋擲的時(shí)間 n無關(guān)。 當(dāng)隨機(jī)過程在時(shí)刻 1?nt 的狀態(tài)已知的條件下，它在時(shí)刻 nt （ 1?? nn tt ）所處的狀態(tài)僅與時(shí)刻 1?nt 的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時(shí)刻 1?nt 以前的狀態(tài)無關(guān)首頁 （ 4）平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏過程不同，它不隨時(shí)間的推移而變化，過程的“過去”可以對“未來”有不可忽視的影響。])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?首頁 自相關(guān) 關(guān)系 )()()( tiYtXtZ ?? 的自相關(guān)函數(shù)可有 )( tX 和 )( tY 的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)表示即 ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX ????類似地 ])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX ??)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY ??互相關(guān) 關(guān)系 首頁 例 1 已知復(fù)隨機(jī)過程 tietZ ???)( ， 1Rt ?其中 ? ? N （ 0 ， 1 ）， ? 是給定常數(shù)，求 )( tZ 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。又因 2T 為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時(shí)間間隔，}|{ 112 sTtTP ??}|],({ 1111 sTtssP ??? 內(nèi)沒有事件發(fā)生在}],({ 11 內(nèi)沒有事件發(fā)生在 tssP ?? （增量的獨(dú)立性） }0)()({ 11 ???? sXtsXP}0)0()({ ??? XtXP （齊次獨(dú)立增量過程） tetXP ????? }0)({首頁 可見 一般地 2T 也服從均值為 ?/1 的指數(shù)分布且 2T 與 1T 獨(dú)立同分布。??? )1()( iYiY )( iX （ ?,2,1?i ）而 )( iX （ ?,2,1?i ）是相互獨(dú)立的所以 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個(gè)獨(dú)立增量過程。一維概率密度 若存在二元非負(fù)函數(shù) )( 11 xtf ； ，使11111 )()(1 dyytfxtF x ；； ????則稱 )( 11 xtf ； 為隨機(jī)過程 )( tX 的一維概率密度首頁 二維分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù) 二維概率密度 二維隨機(jī)向量 （ )( 1tX ， )( 2tX ） Ttt ?),( 21})