運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)理論求極限所有專業(yè)(完整版)
【正文】 ?????? ?. 證明 因?yàn)殡S機(jī)變量 12,xx， ? ， nx ? ， 是獨(dú)立但不是同分布的 ， 故可驗(yàn)證它是否滿足定理 5 的條件 . 因?yàn)?kx 服從 ( k， k) 上的均勻分布 (k=1， 2， ? ， n， ?) ， 6 故 0k?? 222 2 2( ) ( ) 23kk k k k xkE X E X d xk? ?? ? ? ??， 222111 ( 1 ) ( 2 1 )3 1 8nnnkkkkB n n n???? ? ? ? ??? ， 又 2 22 23kkk k d x kE X x k? ???????? ? ? ??； 當(dāng)取 1?? 時(shí)， 2 3 2 2111 ( 1 )4 1 6nkkkE X k n n?? ??? ? ? ??， 此時(shí) 2211lim n kkn kn EXB?? ? ???? ? ??223227 ( 1 )l i m 2 08[ ( 1 ) ( 2 1 ) ]nnnn n n???????， 隨機(jī)變量 12,xx， ? ， nx ， ? 滿足定理 5的條件 . 故對(duì) 221, l im 2 ( 1 ) ( 2 1 )6 yn xknkxx R P X n n n e d y????? ???? ? ? ? ? ?????? ?， 即 2211l im 2 yN xknn KP X x B e d y?????? ?????????? ?， 所以 221, l im 2 ( 1 ) ( 2 1 )6 yn xknkxx R P X n n n e d y????? ???? ? ? ? ? ?????? ?. 2. 3 利用母函數(shù)求極限 定義 3 如果隨機(jī)變量 X 的分 布列是 ( ) , 0 , 1 , 2 , 3kP X K p k? ? ?， 那么 0( ) ( 0 1 )kkkP S p S S??? ? ??被稱作隨機(jī)變量 X 的母函數(shù)或者分布列 ??kp 的母函數(shù) . 一個(gè)母函數(shù)可以唯一確定分布列 . 因此 ， 通過建立合適的隨機(jī)變量模型 ， 從母函數(shù)切入 ， 可以比較順利地解決極限求取問題 . 例 4 已知 k為非負(fù)整數(shù) ， n為正整數(shù)， 01p??，若 lim n(1 )n p ??? ??. 7 求證 11lim (1 ) !kk n knkn C p p ek ???????? ??. 證明 首先，如果隨機(jī)變量 X 服從 Pascal 分布的話， 那么其分布列就是下面的形式： ()P X K? = 1 1 (1 )k n knkC p p??? ? 0,1,2,3k ? ， 而其母函數(shù)是 ? ?p()1 (1 )nx nPS Sp? ??， 另外 ， 如果它的隨機(jī)變量 Y服從參數(shù)為 ? 的 Poisson 分布，那么概率分布列為 ( ) , 0 , 1 , 2 , 3!kP Y K e kk ?? ?? ? ?， 且其母函數(shù)為 (1 )() SYP S e ???? . 要想證明題目，只要證明下式，即 lim ( ) ( )XYn P S P S?? ? . 由 lim n(1 )n p ??? ??可知， ? ?() 1 (1 )nX n SpePS eSp ????????? ()YPS， 則可得 lim ( ) ( )XYn P S P S?? ?，題目 得證 . 2. 4 利用概率隨機(jī)模型求復(fù)雜數(shù)列極限 我們?cè)诖颂幗榻B的方法是利用預(yù)先建立的合適的隨機(jī)模型 ， 加入概率統(tǒng)計(jì)理論的方法可以確定一類結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)列極限 ， 利用實(shí)例對(duì)這種方法進(jìn)行說明 . 例 5 設(shè)下式成立 ： n 1 2 2 2 2 2 2 21 1 1 13 2 3 3 4 2 3 3 4 4 5 ( 1
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