畢業(yè)論文(常微分方程積分因子法的求解)(完整版)
【正文】 2 2() 2Qx x x????? ? ???? ? ? 222 ( ) f x x? ? ? ??? ? 22( ) ( )PQyx???????? 22( 2 ) ( 2 )PQPQy y x x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 22 ( ) ( )PQPQy x y x????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22 ( ( ) ) ( )P P f xy y x? ? ? ? ??? ? ? ? 222 ( ( ) ) ( )P P f xy y x?? ??? ? ? ? 因?yàn)?()fx， 1y 分別是 x ， y 的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知 2 ( )fx ， 2y 也分別是x ， y 的連續(xù)函數(shù)． 又因?yàn)? 22 ( )P Q PQ f xy x y??? ? ? 22( ) ( )PQyx???????? 222 ( ( ) ) ( )P P f xy y x?? ??? ? ? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 9 222 ( ( ) ) 2 ( ( ) )PPQ f x Q f xyy??? ? ? ? =0 所以 22 0Pdx Qd y????是全微分方程． 所以 2? 也是該方程的積分因子． 例 3 求 3 si n 0yyx dx e xdy??的積分因子． 解 ： 3 c o syPQ x e xyx??? ? ? ( ) cotf x x?? 可以由上面的定理得到方程的積分因子： cot xdxey? ????． 例 4 求 23sin 0yy xdx x ye dy??的積分因子． 解 ： 22s in 3 yMN x x yeyx??? ? ? 可以取 2333()yyx yefx x ye x???? 從而使該方程能夠滿足定理 1 所需條件 則有： 31 3331d x d xxx ye y e y yxx?? ???? ? ? ? ? ? ? 所以方程的積分因子是： 3yx?? ． 同理，由定理 2知：26yx?? 也是該方程的積分因子． 方程 1 1 2 3 4 2 2( 3 ) 3 6 3 3 0m m mm x m x y x y d x y x y x y d y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?積分 因子 定理 3 齊次方程為： 1 1 2 3 4 2 2( 3 ) 3 6 3 3 0m m mm x m x y x y d x y x y x y d y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 10 則該方程有積分因子： 1222()xy? ?? ． 證明： 令 1222()z x y?? 則知 1222()z x x yx ?? ??? 1222()z y x yy ?? ??? ∵ ( , ) ( , ) 0x y P dx x y Q dy???? 1 1 2 3( 3 ) 3mmP m x m x y x y??? ? ? ? 4 2 26 3 3 mQ y x y x y? ? ? ∴ P d z PPy dz y y?? ?? ? ???? ? ? 122 2() dPP y x yd z y? ?? ?? ? ? ? Q d z x dz x x?? ?? ? ???? ? ? 122 2() d x x y d z x? ?? ?? ? ? ? 若有： PQyx????? 也即是有： 122 2( ) ( ) ( )d Q PP y x Q x yd z x y? ?? ??? ? ? ? ?122 21( ) ( )QPd xydz P y x Q x y?? ???????? ? ? ?122 2ln( ) ( )QPd xydz P y Q x x y????????? ? ? 12221()xy? ? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 11 ∴ 12221()( , ) dzxyx y e? ??? 122212221 ()()d x yxye ???? 1222ln( )xye ?? 1222()xy?? ． 例 5 求解齊次方程 3 2 3 4 2 2 26 c o s 3 c o s 3 c o s ( c o s ) 6 3 c o s 3 0x y x y x d x y x y x y d y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?的積分因子． 解： 由定理 3得方程的積分因子是： 1222()xy? ?? 方程 13 ( ) 3 0m m mx m x y x d x x d y???? ? ? ???積分因子 定理 4 齊次方程： 13 ( ) 3 0m m mx m x y x d x x d y???? ? ? ??? 則該方程有積分因子： 2()xy??? ． 證明： 令 2()z x y?? 則知 22xyx?? ??? 22xyy?? ??? 因?yàn)? ( , ) ( , ) 0x y P dx x y Q dy???? 所以有 P d z PPy dz y y?? ?? ? ???? ? ? ( 2 2 ) dPP x y dz y? ? ?? ? ? ? Q d z x dz x x?? ?? ? ???? ? ? ( 2 2 ) d x y dz x? ? ?? ? ? ? 五邑大學(xué)本科畢業(yè) 論文 12 若有 PQyx????? 則有： ( ) ( 2 2 ) ( )d Q PP Q x y d z x y? ? ??? ? ? ? ?
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