【正文】 ∴2t=3．∴t=；（2）∵當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，∴PD=DQ，當(dāng)0＜t＜時(shí)，此時(shí)，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合題意，舍去），當(dāng)≤t＜3時(shí)，此時(shí)，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2； 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2；（3）由題意知：此時(shí)，PD=t，DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如圖①，當(dāng)0≤t≤時(shí)，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如圖②，當(dāng)≤t≤時(shí)，設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，∵M(jìn)N=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等邊三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，此時(shí)＜t＜，t=1或．考點(diǎn)：幾何變換綜合題3．已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）請(qǐng)問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45176?！唷鱉EC是等腰直角三角形．∵G為CM中點(diǎn)，∴EG=CG，EG⊥CG【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題．（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)解答．4．如圖（1）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G交AD于F（1）求證：AF＝DE；（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖（2），求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖（3），求證：CG＝CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CG＝CD，見解析．【解析】【分析】（1）證明△BAF≌△ADE（ASA）即可解決問題．（2）過點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M，N．想辦法證明AF＝DF，即可解決問題．（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，只要證明BC＝CP即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90176。∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60176。時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時(shí)，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176。15176。得到正方形AB39?！唷螦MF=∠MAN=∠ANF=90176?！逜B=2=AD39。于F，旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。2=BF2+D39。﹣∠BPO=∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE=90176。與∠PEC＞90176。+∠PBR=90176。在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設(shè)AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當(dāng)x=2時(shí)，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．15．如圖1，在菱形ABCD中，ABC=60176?！逥H⊥AB ∴∠DHA=90176。 ∴∠DCG+∠GCE=120176。 即∠GCE=120176。 ∵BE=EF ∴△BEF為正三角形 ∴EF=BE=1 ∴DG=EF=證明：連接CG、CF由（1）知 △PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG與△CBF中 易證：∠CDG=∠CBF=60176。若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且BE=BF，連接DE,點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，連接FP、CP，那么第（2）問的結(jié)論成立嗎？若成立，求出的值；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60176?！唷螦BP=176?！郈P=CE，∴∠CPE=∠CEP=176。∴BC=OB．∵BC=1，∴OB=，∴PF=．∴點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長(zhǎng)度不變，值為．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，符合要求的圖形如圖3所示．同理可得：PB=PE，PF=．（3）①若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1．∵∠BPE=∠BCE=90176。．∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90176?！唷螧AD39。E=AD39。如圖所示：過D39。D39。∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176?！唷螦OE+∠DOE=90176?！唷螪AF=∠CAE，∵CA=AD，∠D=∠ACE=60176?！唷?+∠2＝90176。．在Rt△FCD中，∵G為DF的中點(diǎn)，∴CG=FD，同理．在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．證法一：連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．在△DAG與△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90176。∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90176。∴∠CDE+∠DHG=90176。∴△MEC為直角三角形．∵M(jìn)G=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：過F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因?yàn)锽E=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90176?！螪EA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝BP＝BC，∴CG＝CD．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是