構造函數(shù),妙解不等式-文庫吧在線文庫
【正文】 x+(x)=2x2x+1,0163。(x)為f(x)：對任意x0,g(x)1+lnxk【答案】(I)f162。).(III)由(II)可知，當x179。(x)0，所以當x=e2時，F(xiàn)(x)取得最大值F(e2)=1+(x)F(x)163。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。a+b+c=222解析：237。234。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。若采用函數(shù)思想，構造出與所證不等式密切相關的函數(shù)，利用函數(shù)的單調性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。一、結合勘根定理，利用判別式“△”的特點構造函數(shù)證明不等式例1若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c0，a3b+(x),設f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)，由f(2)=4a+6b+c0，f(1)=a3b+cf(x)+3bx+c=0可知△=(3b)24ac0,所以可得：9b2，抓住問題本質，通過構造二次函數(shù),將所要證明的結論轉化成判別式“△”的問題,再結合勘根定理和二次函數(shù)知識，、結合構造函數(shù)的單調性證明不等式例2(2005年人教A版《選修45不等式選講》例題改編)已知a,b,c是實數(shù)，求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.證明構造函數(shù)f(x)，設f(x)=x1+x(x≥0).由于f′(x)=1(1+x)2,所以結合導數(shù)知識可知f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù).∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|),即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.、結合構造函數(shù)在某個區(qū)間的最值證明不等式例3(第36屆IMO試題)設a,b,c為正實數(shù)，且滿足abc=1,求證:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥，設f(a,b,c)=1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b),顯然a=b=c=1時，f(a,b,c)=32≥=1，a,b,c為正實數(shù)，則a,b,c中必有一個不大于1，不妨設0f(a,b,c)f(a,1,c)=(1b)1a3(b+c)(1+c)+1+b+b2b3(a+c)+1c3(a+b)(1+a)≥0,∴f(a,b,c)≥f(a,1,c)，因此要證f(a,b,c)≥32，只要證f(a,1,c)≥32，此時ac=1，∴a,1,c成等比數(shù)列，令a=q1，c=q(q0).f(a,1,c)=q31+q+qq2+1+1q2(1+q)=q5+1q2(1+q)+qq2+1=(q4+1)(q3+q)+q2q2+qq2+1=(q2+q2)(q+q1)+1q+q1+1=t2t+1t1.(其中t=q+q1，且t≥2).由導數(shù)知識(方法同例例3)可知函數(shù)f(a,1,c)=t2t+1t1(t≥2)是增函數(shù)，當且僅當t=2q=1a=c=1時，(f(a,1,c))min=222+121=32成立，∴f(a,1,c)≥(a,b,c)≥f(a,1,c)≥。故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。利用函數(shù)的值域例若x為任意實數(shù)，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。42﹤,b,c,d206。4。b163。0,0成立，并指出等號何時成立。(x)=(lnx+2)，當x206。(x)=20，即k(x)在(0,+165。x163。x163。(x)179。2＋22－18x2232。2232。248。當x1時,h162。(x)=1f162。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2+y2+z2(2xycosa+2yzcosb+2zxcosn)=2x22x(ycosa+zcosn)+y2+z22yzcosb,其中D=4(ycosa+zcosn)24(y2+z22yzcosb)=4(ysinazsinn)2163。sina1∴a∴tanα＞,∴x＞26233。構造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運用函數(shù)的性質來解題，是一種制造性的思維活動。∴f（x）在x∈R+上單調遞增。所以，f(x)圖像與x軸有兩個交點.。故試圖構造二次函數(shù)使思路峰回路轉。11證明：設1+= t ,由x∈(0,+∞)則t 1 ,∴x =xt11原不等式 lnt 1令f(t)=t1lnt 則 f ‘(t)=1當 t∈(1,+∞)，有f‘(t)0 t從而 f(t)在t∈(1,+∞)單調遞增，所以 f(t)f(1)=0 即t1lnt1t1同理 令
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