【正文】 1a2Lan)a1+a2+L+ann.（3）本題還可用其他方法得證。0,則lga179。an,b1163。a2a+b2b+c2ca2b2c2111111179。a2+b2+c2（逆序和），同理a2+b2+c2（亂序和）abccab111179。b179。a2b+b2c+c2a=aab+bbc+cca179。1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4+b4179。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。179。239。 1179。22(4sin2a)25239。 殲滅難點訓練一、：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2qbcot2q=a+b+：a+b+2ab：由0≤|a－d|＜|b－c|219。0b+cc+aba+bcz179。2xyz+2xyz+2xyz2222222222219。n=ab因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0因為2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m323m將②代入①得m2－4(m2323m)≥0，3即m+83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33證法四：因為a+b2(a+b32)224aba2b2=(a+b)[4a+4b2ab])(ab)28=3(a+b8≥0，所以對任意非負實數(shù)a、b，有a3+b32≥(a+b32)3b333因為a＞0，b＞0，a+=2，所以1=a+ba+b32≥(2)，∴a+b2≤1，即a+b≤2，(以下略）證法五：假設a+b＞2，則①②本資料從網(wǎng)上收集整理a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因為a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332233222第五篇：歸納法證明不等式歸納法證明不等式由于lnx0則x1設f(x)=xlnxf39。當n=1,12√n已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當n1時,f(2^n)n+2/2(1)n=2時代入成立(2)假設n=a時候成立則n=a+1時f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))后面相同項一共有2^a個所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2因為f(2^a)(a+2)/2故上面大于/2因此n=a時上式成立的話n=a+1也成立1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2“1/2^2”指2的平方分之1證明：數(shù)學歸納法：∵當n=2時有1/2^2=1/42∴符合原命題。236。2(xy+yz+zx)+4(xyz+xyz+xyz)219。+z162。24sin2a254。41=+16179。237。25236。0ab4ab44ab4ab 1125\(a+)(b+)179。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。An163。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。1++L+2222n23n所以a1+評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。b179。179。R+時,a3+b3+c3179。a2163。b179。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。7．利用排序不等式證明Gn163。(abc)+b2b2+c2c2+a2a3b3c3++163。x179。x2163。acbc.（4）ab0222。14不等式的證明不等式在數(shù)學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a179。反證法：先假設所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式MN，由題設及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設，肯定M具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。（2）作商法：①要證AB(B0),只要證。ab=0a=b。2ab，a+b179。如： 已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq； 已知x2+y2163。ab，：（1）ab219。ac（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）ab,cd222。x163。|a177。2c2a2bbccaab+4．設a1,a2,L,an206。2bc,c2+a2179。2ab，2b2+c2179。因aabb179。lgb179。b2163。ab+bc+ca。a2+b2+c2（逆序和）兩式相加再除以2，179。c,：不等式右邊各項ai1=a；可理解為兩數(shù)之積，,b2,L,bn是a1,a2,L,an的重新排列，滿足b1b2Lbn，又1111L.,b2,Lbn是互不相同的正整數(shù)，++L+179。abc+bac+cab=：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．+b2179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。n,即1179。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219。 253。139239。4239。179。(a－d)2＜(b－c)2219。2(xy+yz+zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y+zx+z+xy+x+yz)179。yz(yz)+zx(zx)+xy(xy)+x(yz)+y(zx)+z(xy)179。(x)=11/x0則f(x)為增函數(shù)f(x)f(1)=1則xlnx則可知道等式成立。假設當n=k時1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2綜上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2。(含分母的一般用放縮法，含根號的常用分母有理化。n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm+1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因為2ab≤a+b≤2，所以ab≤：設a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a+b237。(x+y+z)(yz+yz22222222+zx+zx222+xy+xy)2222179。(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)3=3(a+b+c)+63=3∴3a+2+3b+2+3c+2≤33＜6 ∴：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x+1212，得x2+y2+(1－x－y)2=12，整理成關于y的一元二=0，∵y∈R，故Δ≥012∴4(1－x)2－42(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤23，∴x∈［0，23］］132+x′，y=2+y′，z=13132+z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)+x′2+y′2+z′2+222(x′+y′+z′)13+x′+y′+z′≥2+x′+132(y162。239。1,\4sin2a179。222。254。16=.144t2顯然當且僅當t=0，即a=b=證法三：(比較法）12時，等號成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤112