【正文】 1 1 1 1 2 222122221122212122 2 21 2 1 212 , , , , , , 1 1 , 1 2 211 6 .8nnWX X Y Y N NSSSF F n nSXYt n nSnn? ? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??設(shè)樣本 和 分別來自總體 和 并且它們相互獨立，其樣本方差分別為則：當 時，定理 ：? ? ? ?221 1 2 2221211 ,2W W Wn S n SS S Snn? ? ?????其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122212 1 , 1n S n Snn?????? ??證明：1 由 定理 知，31 ? ? ? ? ? ?12120 , 111XYUNnn???? ? ???即有：? ? 221212122 ,X Y N nn??????? ? ?????易知2, ?且它們相互獨立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 2222211 1 , 1n S n S?????? ??又由給定條件知： ,UV由定理 知： 與 相互獨立? ? ? ? ? ?1 1 2 2 212211 2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 12121222 11wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??????????從而按 分布定義知： 復(fù)習思考題 6 ？什么叫簡單隨機樣本？總體 X的樣本 X1,X2,…,Xn有 哪兩個主要性質(zhì)？ ？什么是統(tǒng)計量的值？ ？ (0,1)分布 ,t分布 ,χ2分布和 F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點的值？ ？ ？ 33 第七章 參數(shù)估計 關(guān)鍵詞： 矩估計法 極大似然估計法 置信區(qū)間 置信度 34 ? ?? ?222222 ,1 。 1. 每個 Zi與 Z同分布 2. Z1,Z2,?,Z n是相互獨立的隨機變量 [說明 ]： 后面提到的樣本均指簡單隨機樣本，由概率論知，若總體 Z 具有概率密度 f(x)， 則樣本（ Z1,Z2,?,Z n）具有聯(lián)合密度函數(shù)： 20 統(tǒng)計量： 樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。 例如： 若規(guī)定燈泡壽命低于 1000小時者 為次 品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗是 破壞性試驗，不可能把整批燈泡逐一檢測，只 能抽取一部分燈泡作為樣本進行檢驗，以樣本 的信 息來推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計學研 究的問題之一。 2 中心極限定理 背景：有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機變量的 綜合影響所形成的，而其中每個個別的因素作用都很小，這種 隨機變量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極限分布 是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù)學上論證了這一現(xiàn)象，它 在長達兩個世紀的時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個重要不等式 8 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?22222 ,0, 1Z E Z D ZP Z E ZP Z E Z???????????? ? ? ?? ? ? ?定理 契比雪夫不等式 ：設(shè)隨機變量 具有數(shù)學期望 方差 則對于任意 都有：定理的 為：等價形式? ? ? ? ,Z Z f x證明：僅就 為連續(xù)型時證之 設(shè) 的概率密度為? ? ? ?xP Z f x dx???? ??? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x dx???????? ?? ? ? ?221 x f x dx?? ???????? ? 222DZ ?????()fx?????9 例 1：在 n重貝努里試驗中，若已知每次試驗事件 A出 現(xiàn) 的概率為 ，試利用契比雪夫不等式估計 n,使 A出現(xiàn)的頻率在 。 ? ?, , 10 00 0 , 17Z Z b n p n p? ? ?解：設(shè) 為一年中投保老人的死亡數(shù)，則由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PZ ??? ? ? ?20011Z np npPnp p np p????????????? ? 11Z npPnp p??? ?1 21 1?? ? ?16 例 4：設(shè)某工廠有 400臺同類機器，各臺機器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺機器工作是相互獨立的，試求機 器出故障的臺數(shù)不小于 2的概率。如某個燈泡。 , 0 6., 05 1n n n nnnnbF n nn n x n n x xBf x n nxabB a b x x dx??????????? ??????? ? ??分定理 ： 布的概率密度為： 其中? ?ab?? 27 ? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2,1 2 1 2, 0 1 , 。的估計量 點估計有兩種方法：矩估計法和極大似然估計法36 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21。 221? niinlnX???????????的極大似然估計值為：? ? ? ? 2111 1 1, nn n ni i ii i iL f x x x??? ? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ?解：似然函數(shù) ? ? ? ?112 n iinlnL ln lnX? ? ??? ? ? ?? ?111 0 22niidlnL n lnXd??? ? ?? ? ? ??令 1niin lnX? ??? ?即： 43 ? ? 1 矩估計解： ? ? ? ?E X x f x dx????? ?? ? ? ?22 1xX x e dx??? ??? ??? ?? ?? ? 21 1()niiE X XD X X Xn?? ??? ???? ?令? ?DX21211? () 1? ()niiniiXXnX X Xn?????????? ?? ? ? ????????? ? ?1 xx e dx??? ??? ??? ? ? ?2 2 xx e dx????? ??? ???22? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?44 ? ? 2 極大似然估計? ? ? ?1 1, in xiLe ???? ? ???? ? ?此處不能通過求偏導數(shù)獲得 的極大似然估計量， ? ? 111, n ii nxnL e L???? ? ? ?? ??? ??另一方面， 是 的增函數(shù)， 取到最大值時， 達到最大。 3 區(qū)間 估 計 ? ?? ? ? ?11 1 2 21112?, , , , ,nnnX X XX X X X????? ? ? ?? ? ???????點估計是由樣本求出未知參數(shù) 的一個估計值 ， 而區(qū)間估計則要由樣本給出參數(shù) 的一個估計范圍，并指出 該區(qū)間包含 的可靠程度。為了評估新蘋果 她隨機挑選了 個測試重量 單位：克 其樣本方差為 試求 的置信度為 ％和的 ％的置信區(qū)間。 若此函數(shù)對任意固定的 是一個隨機變量， 定義： 則稱 是 隨機過程；, ( , )T e t X e t為參數(shù)集，對固 過程定的 和 稱為 的狀態(tài)；( , )X e t 所有可能的值 狀的全體稱為 態(tài)空間 ；( , ) ( )X e t X t今后將 簡記為? ?( , ) , ,tX e t e S t T e??對于隨機過程 進行一次試驗，即 給定，它是 的函數(shù)，稱為隨機過程的 樣本函數(shù) 。nnX n n n n iXnn n t t t Tn X t X t X tF x x x t t t P X t x X t x X t x x R i nX t t TF x xnxt??? ? ? ? ? ?? 為了描述隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計聯(lián)系，一般地，對任意 個不同的時刻，引入 維隨機變量 它的分布函數(shù)記為： ； ，稱為隨機變 分量的 維 布函數(shù)? ? ? ?2, , ) ( ) ,nit t t T X t t T n?? 稱為 的 維分布函數(shù)族? ?? ?1 2 1 2( , , 。 240 Xx??? ? ? ??? ??? 其他1,a c os ?? ?? ? ? ?? ? 1 1 0。 , ,( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( )( ) ( )nmnmX t Y t t Tn m t t t T t t t Tn X t X t X t m Y t Y t Y tX t Y t??? 給定二維隨機過程對任意的正整數(shù) ，任意的數(shù)組維隨機變量 與 維隨機變量相互獨立，稱隨機變量 和 是 相互獨立 的93 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] ,( , ) [ ( ) ( ) ] ,XYYXR t t E X t Y t t t TR t t E Y t X t t t T??? ?1 2 1 1 2 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( , ) ( ) ( ) ,( , ) ( , ) ( ) ( ) ,X Y X YX Y X YY X Y X Y XC t t E X t t Y t tR t t t t t t TC t t R t t t t t t T??????? ? ?? ? ?? ? ?94 ( ) ( ) ( ) ( )W t X t Y t Z t? ? ?解： ( ) ( ) ( ) ( )W X Y Zt t t t? ? ? ?? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )W X Y ZR t t R t t R t t R t t? ? ?1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )X Y Y X X ZR t t R t t R t t? ? ?1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )ZX Y Z ZYt t t t R t t?1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )W X Y ZR t t R t t R t t R t t? ? ?則 ( ) ( ) ( ) 0X Y Zt t t? ? ?? ? ?若特 ，別的 ，( ) , ( ) , ( )X t Y t Z t 兩兩不相關(guān)1 2 1 2( , ) ( ) ( ) 0 ,X Y X YR t t t t????即 1 2 1 2( , ) 0 , ( , ) 0X Z Y ZR t t R t t??95 167。 39。 0) 0 12 1 1xF x xx????? ? ??????故1 (1 )1 HXT??? ??出現(xiàn)出現(xiàn) 0 11( 。1t 39。?