20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第1章3等比數(shù)列第4課時等比數(shù)列的綜合應(yīng)用ppt同步課件-文庫吧在線文庫
【正文】 q ≠ － 1 時，數(shù)列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， ? 仍成等比數(shù)列，公比為 qm，解法三運用了等比數(shù)列的性質(zhì)： S m ＋ n ＝ S m ＋ qmS n ，解法四運用了等比數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng) q ≠ 177。 2n. [ 方法總結(jié) ] 如果數(shù)列 { a n } 是等差數(shù)列， { b n } 是公比為 q 的等比數(shù)列，則數(shù)列 { a n b n } 的前 n 項和一般可采用這一 “ 錯項相減 ” 求和法，解題的關(guān)鍵是在等式 S n ＝ a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ ? ＋ a n b n 的兩 邊同乘以等比數(shù)列 { a n } 的公比 q ，得 qS n ，由 S n － qS n 消去相同的項，或合并同類項化簡得 S n ，在寫 S n 與 qS n 表達(dá)式時，應(yīng)特別注意 “ 錯項對齊 ” ，以便于下一步準(zhǔn)確寫出 S n . 若將本例 (2) 改為 “ 求數(shù)列 {2 n － 1a n } 的前 n 項和 ” ，結(jié)果又如何？ [ 解析 ] 由 (1) 知，2 n － 1a n＝2 n － 12n － 1 ，記數(shù)列 {2 n － 1a n} 的前 n 項和為 T n ， 則 T n ＝ 1 ＋32＋522 ＋ ? ＋2 n － 12n － 1 ， ① ∴12T n ＝12＋322 ＋ ? ＋2 n － 32n － 1 ＋2 n － 12n ， ② ① － ② 得：12Tn＝ 1 ＋22＋222 ＋ ? ＋22n － 1 －2 n － 12n ＝ 1 ＋ 2(12＋122 ＋ ? ＋12n － 1 ) －2 n － 12n ＝ 1 ＋ 2 12? 1 －12n － 1 ?1 －12－2 n － 12n ＝ 3 －12n － 2 －2 n － 12n ， ∴ Tn＝ 3 －2 n ＋ 32n . 以數(shù)列 {an}的任意相鄰兩項為橫 、 縱坐標(biāo)的點Pn(an， an＋ 1)(n∈ N＋ )均在一次函數(shù) y＝ 2x＋ k的圖像上 ， 數(shù)列 bn＝ an＋ 1－ an(n∈ N＋ ， b1≠0)． (1)求證：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列 {an}， {bn}的前 n項和分別為 Sn， Tn， 若 S6＝ T4，S5＝－ 9， 求 k的值 ． 數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用 [分析 ] (1)本題考查等比數(shù)列與函數(shù)知識 ． 先由點 P(an，an＋ 1)在一次函數(shù) y＝ 2x＋ k上 ， 結(jié)合 bn＝ an＋ 1－ an， 求出 bn與 bn＋ 1之間的關(guān)系； (2)利用 (1)中得到的結(jié)論求出 Sn， Tn及其關(guān)系后利用 S6＝ T4， S5＝－ 9， 求 k的值 ． [ 解析 ] (1) 由題意，得 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ k ， b n ＝ a n ＋ 1 － a n ， ∴ b n ＝ 2 a n ＋ k － a n ＝ a n ＋ k ， ∴ b n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 ＋ k ＝ (2 a n ＋ k ) ＋ k ＝ 2( a n ＋ k ) ． 即 b n ＋ 1 ＝ 2 b n . ∵ b 1 ≠ 0 ， ∴b n ＋ 1b n＝ 2( n ∈ N ＋ ) ， ∴ 數(shù)列 { b n } 是以 2 為公比的等比數(shù)列． (2) 由 (1) ，得 bn＝ an＋ k 及 { bn} 是公比為 2 的等比數(shù)列，得 Tn＝b1? 1 － 2n?1 － 2＝ b1(2n－ 1) ， 由 bn＝ an＋ k 得 Tn＝ Sn＋ nk ， ∴ Sn＝ b1(2n－ 1) － nk . ∵ S6＝ T4， S5＝－ 9 ， ∴????? 63 b1－ 6 k ＝ 15 b1，
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