【正文】 1)()(2023/2/27 17 ? 注 : 當(dāng) 適當(dāng)?shù)拇?，各層樣本平均?shù) 均可適用正態(tài)近似，因此一般地 也適用于正態(tài)近似其置信區(qū)間。 高血壓患病率調(diào)查數(shù)據(jù) 年齡組 (歲 ) 層權(quán) 層樣本量 1425 400 2640 650 4160 600 61以上 350 hWhnhp2023/2/27 40 解 : P的估計(jì)量為 : ? 為求 的方差估計(jì) ,取 stp? ? ? ? 的近似公式為：則 ?? ???????Lh hhhhhsthhhnqpfWpvnnf12,111,11? ?? ? ? ? % 0000 12????? ??ststLh hhhhstpvpsnqpWpv2023/2/27 41 比率估計(jì)及其性質(zhì) ? (一 )分別比率估計(jì) 條件： 各層的樣本量都比較大 的情況下 方法：各層分別進(jìn)行比率估計(jì)，將各層加權(quán)匯總得到總體指標(biāo)的估計(jì)。 分別回歸估計(jì)量同樣要求每層的樣本量都比較大，如果達(dá)不到這個(gè)要求，加之各層的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差較大，整個(gè)分層隨機(jī)抽樣就會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，這時(shí)要使用聯(lián)合比估計(jì)量。若層內(nèi)的回歸系數(shù)差別不太大，而每層的樣本量并非都相當(dāng)大時(shí)，聯(lián)合回歸估計(jì)可能更保險(xiǎn)些。 比例分配時(shí)， 也與層權(quán) 成比例。 ykY ?2023/2/27 78 的方差為 : 注意： 是各層方差按層權(quán)的加權(quán)平均 ! ??LhhhSW122023/2/27 79 二 . 最優(yōu)分配 (一 ) 最優(yōu)分配 在分層隨機(jī)抽樣中， 在總費(fèi)用給定的條件下，估計(jì)量的方差達(dá)到最??；或在給定估計(jì)量方差的條件下，使總費(fèi)用最小的各層樣本量的分配稱為最優(yōu)分配 (optimum allocation)。 ?n 2023/2/27 89 【 例 】 在例 n=550不變 ,城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民年收入的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)分別為 元 , 元 ,對(duì)城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民抽樣平均每戶的費(fèi)用比 1:2,試求城鎮(zhèn)與農(nóng)村兩層比例分配與最優(yōu)分配的樣本量。反之對(duì)同一精度要求，對(duì)不同的樣本量分配形式 ,計(jì)算得到的總樣本量也有差異，因此在確定總樣本時(shí)，要求先確定樣本量的分配形式。 （ 3）而且當(dāng)實(shí)際分配偏離最優(yōu)分配時(shí)，方差增加并不明顯。 2023/2/27 121 使用條件 : 最優(yōu)分配 : 各層標(biāo)準(zhǔn)差差異大，尤其是調(diào)查多個(gè)目標(biāo)量時(shí)。按數(shù)值分層即為在 與 之間插上 (h1)個(gè)分點(diǎn) : 如果各層的抽樣分配方案已定，即設(shè)法求這些分點(diǎn)以使得 達(dá)到最小。 iYiX ??2023/2/27 130 三 . 事后分層 (或抽樣后分層 ) 前面討論的分層抽樣是建立在抽樣之前總體已經(jīng)分好層 ,但有時(shí)這種事先分層會(huì)遇到較大困難，而我們又很想利用分層抽樣的優(yōu)勢(shì)之處，此時(shí)可以采用事后分層的方法。 2023/2/27 136 【 例 】 p59 某高校欲了解在校學(xué)生用于課外進(jìn)修 (如各種考證輔導(dǎo)班等 )的開(kāi)支 ,在全校 8000名學(xué)生中抽取了一個(gè) 200人的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 .根據(jù)學(xué)生科的統(tǒng)計(jì) ,本科生人數(shù)為全校學(xué)生的70%,調(diào)查最近一個(gè)學(xué)期課外進(jìn)修支出的結(jié)果如下 : 2023/2/27 137 在校學(xué)生課外進(jìn)修開(kāi)支調(diào)查結(jié)果 試估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開(kāi)支 . 解 : 全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開(kāi)支為 : 層 (h) 層權(quán) ( ) 樣本量 ( ) 樣本均值 ( ) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差( ) 本科生 120 研究生 80 合計(jì) 1 200 hyhn hs)(21元?????? ??hhhpst yWy2023/2/27 138 估計(jì)的方差 : 2023/2/27 139 估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差 : ? 如果采用簡(jiǎn)單估計(jì) ,則估計(jì)的方差為 : 估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為 : ? ? )( 元?ys估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差 : 2023/2/27 140 【 例 】 某地對(duì)載貨汽車進(jìn)行抽樣調(diào)查，調(diào)查目標(biāo)量是當(dāng)月該地發(fā)生的總運(yùn)量和總周轉(zhuǎn)量。 不適合：層權(quán)與實(shí)際情況相差很大 層權(quán) :用近似層權(quán)進(jìn)行校正或重新抽樣 hWhW2023/2/27 131 ,則用估計(jì)量 來(lái)替代 先抽取一個(gè)樣本量 n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,然后將樣 本按某個(gè)特征進(jìn)行分層 ,落到第 h層的單元數(shù)為 hn樣本均值 。 分層時(shí)應(yīng)考慮： １．分層考慮精度的要求。 ２．若是提高抽樣效率 ,減少估計(jì)量的方差，則按目標(biāo) 量 分層，但在調(diào)查之間目標(biāo)量是未知的，因此 分層通常選擇一個(gè)與調(diào)查指較大線性相關(guān)的指標(biāo) 來(lái)進(jìn)行。 ? ????????LhhhLhhh YYWSWS12122? ? prophhhpropsrs VYYWnfVV ????? ? 21hY2023/2/27 118 方差差值為 : 這表明層平均數(shù) 的差異越大，分層的效果就越好 ,若層平均數(shù)都相等，那么分層的效果與不分層的一樣。 srspropopt VVV ,2023/2/27 113 如果各層的 均值差異越大 ，則用比例分配法較好，而當(dāng)各層的 標(biāo)準(zhǔn)差 較大時(shí)，用最優(yōu)分配法較好。 實(shí)際工作中，如果第 k層出現(xiàn)這種情況，最優(yōu)分配是對(duì)這個(gè)層進(jìn)行 100%的抽樣，即取 ，然后，將剩下的樣本量 按最優(yōu)分配分到各層。即最優(yōu)分配的 與 或 成正比，與 成反比。 或 hn hWhw2023/2/27 76 總體均值 的估計(jì)是 : 顯然估計(jì)量有相當(dāng)簡(jiǎn)單的形式。 R? yx、2023/2/27 71 第四節(jié) 樣本量在各層的分配 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣只需要根據(jù)調(diào)查精度的要求與費(fèi)用的限制來(lái)確定抽樣容量的大小，而分層抽樣則提出另一個(gè)重要的問(wèn)題，一旦確定 n，又如何在各層中分配抽樣容量 ，其中有些問(wèn)題要考慮，比如在各層中各有精度的要求以及費(fèi)用的限制，由于各層具有各自的鮮明特征，其花費(fèi)自然不同，因而在樣本容量分配上必須帶有經(jīng)濟(jì)觀點(diǎn)。 （先分層再回歸） 總體均值、總量的聯(lián)合估計(jì)量： ? ?ststlrc xXyy ??? ? ? ?ststlrclrc XXYyNY ??? ???? ?XY與其中： ?? h hhst yWy ?? h hhst xWx2023/2/27 62 當(dāng)回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時(shí)，聯(lián)合估計(jì)量 是無(wú)偏的，其方差為： ? ? ? ? ? ?yxhxhyhh hhhlrc SSSnNfNyV ?? 21 22222???? ?? ? ? ? ? ?? ????hyxhxhyhhhhlrc SSSnfNYV ?? 21? 2222lrclrc Yy ?及2023/2/27 63 ? 當(dāng) 取 時(shí) , 達(dá)到最小。 ? 當(dāng) 各層的樣本量不大 ，或 各層比率 差異很小 ，則 聯(lián)合比率估計(jì) 更好些。求全市年平均戶收入的估計(jì)及其 90%的置信區(qū)間。 首先為組織方便 ,按省分層；各省再按經(jīng)濟(jì)成分分層；為提高抽樣效率 ,再按噸位分層。 如 :消費(fèi)物價(jià)指數(shù) (全國(guó)和各省 ) ３ .層內(nèi)抽樣方法可以不同，而且便于抽樣 工作的組織。 然后，在每個(gè)層中分別 獨(dú)立 進(jìn)行抽樣，這種抽樣就是分層抽樣，所得到的樣本稱為分層樣本。 2023/2/27 6 （二）特點(diǎn)： １ .分層抽樣的抽樣效率較高，也就是說(shuō)分層抽樣的估計(jì)精度較高。 ３．既按類型又按層內(nèi)單元標(biāo)志值相近的原則進(jìn)行多重分 層，同時(shí)達(dá)到實(shí)現(xiàn)估計(jì)類值以及提高估計(jì)精度的目的。 hhhh nNnN ?與，styhy2023/2/27 18 二．總體總量的估計(jì) （一）簡(jiǎn)單估計(jì)量的定義 總體總量 Y的估計(jì)為： 分層隨機(jī)樣本 : （二）估計(jì)量的性質(zhì) 性質(zhì)４ 對(duì)于 一般的分層抽樣 ，如果 是 偏估計(jì)，則 是 Y的無(wú)偏估計(jì)。 (先比后加權(quán) ) 總體均值 和總體總量 Y的分別比率估計(jì)量 : ?????????????LhRhhLh hhRsRshLh hhhLhRhhRsYXxyyNYXxyWyWy1111??Y已知 各層 的 均值和總量 2023/2/27 42 ? 對(duì)分別比估計(jì)，若各層樣本量都比較大，則有 : ? ?? ? ? ?? ? ? ?xhyhhhxhhyhLh hhhLhRhhRsRSRSSSRSRSnfWyWVyVyMSEYyE?21)(222121???????????h?為第 h層 X與 Y的相關(guān)系數(shù) 注：公式中 S、 R、 用樣本數(shù)據(jù)替代 ?2023/2/27 43 ? 證明：根據(jù)比估計(jì)量的性質(zhì)，當(dāng) 比較大時(shí)，則有： 所以 hn? ?? ? ? ?? ?xhyhhhxhhyhhhRhRhhRhSSRSRSnfyVyMSEYyE?21 222??????? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?xhyhhhxhhyhLh hhhRSLhRhhLhRhhLhRhhRSLhhhRhLhhRSSSRSRSnfWyVyVWyMSEWyWMSEyMSEYYWyEWyE?21)(222121212111??????????????????????????????2023/2/27 44 ? 總量： ? ? ? ? ? ?xhyhhhxhhyhLh hhhRsRs SSRSRSnfNyNVYV ?21)(? 22212????? ??2023/2/27 45 ? (二 ) 聯(lián)合比率估計(jì) 條件： 各層的樣本量不是都很大 的情況 方法：先分別對(duì) 作分層估計(jì)，然后再采用比估計(jì)方法。 2023/2/27 56 (一 ) 分別回歸估計(jì) 適用 : 各層樣本量不小的情況 方法 : 先對(duì)各層的平均數(shù)或總和作回歸估計(jì)，然后按層權(quán)平均或相加，得到總體指標(biāo)的估計(jì) 。 2023/2/27 67 ? 【 例 】 P45 :(續(xù)前例 )利用回歸估計(jì)量估計(jì)該市港口生產(chǎn)單位 1997年完成的吞吐量。 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中總體的每一個(gè)單元入樣的概率即為抽樣比 f 。 簡(jiǎn)單線性費(fèi)用函數(shù)： 2023/2/27 80 ? 建立目標(biāo)函數(shù)： ? 根據(jù)柯西 許瓦茲（ CauchySchwarz）不等式，對(duì)于任意的 ，有 ,0,0 ?? hh ba? ?? ????????