【正文】 p 個(gè)隨機(jī)變量的總方差分解為 p 個(gè)不相關(guān)隨機(jī)變量的方差之和 ?1 ＋ ?2 ＋ … ＋ ?P，則總方差中屬于第 i 個(gè)主成分（被第 i 個(gè)主成分所解釋）的比例為 （ ） 稱為第 i 個(gè)主成分的貢獻(xiàn)度。 ppijnkkk sn ???????? ? )())((111xxxxS jkjnkikiijnkkiipxxxxnspixnxxxx????????????1121)((11,2,11),( ??x,)(? ppijr ??R jjiiijij sssr ?R?17 2．樣本主成份及其性質(zhì) 由于采用相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣求解主成分的過程基本一致，因此本節(jié)僅介紹基于樣本相關(guān)矩陣求解主成分的過程。 i??i?? i??20 例 宏觀經(jīng)濟(jì)景氣波動(dòng)的主成分分析 本例從一批對景氣變動(dòng)敏感，有代表的指標(biāo)中篩選出 5個(gè)反應(yīng)宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的一致指標(biāo)組：工業(yè)增加值增速（ iva）、工業(yè)行業(yè)產(chǎn)品銷售收入增速（ sr）、固定資產(chǎn)投資增速（ if）、發(fā)電量增速（ elec）和貨幣供應(yīng)量 M1增速（ m1），樣本區(qū)間從1998年 1月～ 2023年 12月，為了消除季節(jié)性因素和不規(guī)則因素，采用 X12方法進(jìn)行季節(jié)調(diào)整。在 Display對話框中可以以表的形式顯示特征值和特征向量，或者按照特征值的大小以線性圖的形式顯示，或者是載荷、得分的散點(diǎn)圖，或者兩個(gè)都顯示（ biplot）。 輸出的第三部分表示計(jì)算的相關(guān)矩陣。 31 32 圖 計(jì)算得分序列的設(shè)置對話框 2. Calculation選擇鈕 在 Type下拉菜單中選擇使用相關(guān) (Correlation)還是協(xié)方差 (Covariance)矩陣。 35 圖 數(shù)（ PCA），虛線給出的是由國際上常用的美國商務(wù)部計(jì)算合成指數(shù)的方法給出的一致合成指數(shù)（ CI），可以發(fā)現(xiàn)二者的變化趨勢和轉(zhuǎn)折點(diǎn)幾乎完全相同，只是波動(dòng)的幅度略有差異。同時(shí)為了使用這些因子，還需要對提取結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。注意式（ ）中的 F1, F2 , …, Fm 是不可觀測的隨機(jī)變量，因此，必須對隨機(jī)變量 F 和 ? 做一些假定，使得模型具有特定的且能驗(yàn)證的協(xié)方差結(jié)構(gòu)。 ???piijj lg12245 因子載荷的估計(jì)方法 因子分析的首要步驟是先確定因子載荷，或估計(jì)得到因子載荷矩陣 L，注意在式（ ）和式（ ）中的F1, F2, …, Fm是不可觀測的隨機(jī)變量，因此因子載荷矩陣L的估計(jì)方法都比較復(fù)雜，常用的方法有極大似然法、主成分法、迭代主成分方法、最小二乘法、 ? 因子提取法等。首先對原始變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，其相關(guān)矩陣與協(xié)方差矩陣一致，使其因子模型滿足式（ ），根據(jù)式（ ）有 () 令 () 稱 R*為調(diào)整相關(guān)矩陣，或約相關(guān)矩陣。 12* ?ih L?54 因子數(shù)目的確定方法及檢驗(yàn) 上述求解過程中重要的是如何確定公因子數(shù)目 m，這是因子分析中最重要的一步。 (5) 平行分析 （ Parallel Analysis） 平行分析模擬使用的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)有著相同方差和觀測值個(gè)數(shù)，是由隨機(jī)生成器生成的獨(dú)立隨機(jī)變量數(shù)據(jù)集。式（ ）表示的 ?2統(tǒng)計(jì)量也稱為Bartlett?2統(tǒng)計(jì)量。從工作文件的窗口選擇 Object/New Object，選中 Factor；或者選中相應(yīng)的序列，單擊右鍵，選擇Open/as Factor...；或者打開一個(gè)已經(jīng)存在的組對象，選擇 Proc/Make Factor...；或者在命令窗口輸入關(guān)鍵詞 factor，都會(huì)彈出圖 話框?？梢愿鶕?jù)需要選擇不同的方法，但是頁面也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。默認(rèn)的， EViews將停止迭代，并給出最后的估計(jì) (Stop and report final)，同時(shí)指出結(jié)果可能是不適合的；或者 EViews報(bào)告前一次的迭代結(jié)果（ Stop and report last）；或者結(jié)果為 0，繼續(xù)（ Set to zero, continue）；或者忽略負(fù)的方差，繼續(xù)（ Ignore and continue）。 (6) 權(quán)重（ Weighting） 當(dāng)選擇使用加權(quán)方法時(shí)，將會(huì)提示需要輸入權(quán)重序列的名稱。從表 所有股票都高度依賴于 F 1 ，且載荷都差不多相等，可稱之為市場因子，代表總的經(jīng)濟(jì)條件。采用主成分方法（ Principal Factors）求解，按照特征根大于 1的準(zhǔn)則，選取因子數(shù)目 m=4，求解結(jié)果如表 。假設(shè)因子載荷矩陣 L 是基于相關(guān)矩陣得到的，則其所有元素均在 1 到 1 之間，如果 L 的所有元素都接近 0 或 177。 本節(jié)主要介紹最大方差旋轉(zhuǎn)法，其基本思想如下： 80 先考慮兩個(gè)因子（ m=2）的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為 （ ） 取正交矩陣為 其中 ? 表示坐標(biāo)平面上因子軸旋轉(zhuǎn)的角度，則 （ ） ???????????????2122211211pp llllll??L???????? ??????cossinsincosT ?????????????????????????????*2*1*12*11212112111211*cossi nsi ncoscossi nsi ncospppppp llllllllllll????????????LTL81 當(dāng)公共因子個(gè)數(shù)大于 2時(shí)，可以逐次對每兩個(gè)進(jìn)行上述的旋轉(zhuǎn)，如果存在 m個(gè)公共因子，則需要進(jìn)行 次變換，這樣就完成一輪旋轉(zhuǎn)。為了標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，可以點(diǎn)擊 Row weight下拉菜單選擇 Kaiser或者 CuretonMulaik。進(jìn)一步表明正交化的因子旋轉(zhuǎn)將行業(yè)區(qū)分開，因子 F?1 代表引起石油股票波動(dòng)的獨(dú)特的經(jīng)濟(jì)力量，因子 F?2 代表引起化學(xué)股票波動(dòng)的獨(dú)特的經(jīng)濟(jì)力量。例如：對學(xué)生的各科成績進(jìn)行分析，可發(fā)現(xiàn)依賴于兩個(gè)因子 ——全面智力和適應(yīng)開閉卷的能力，實(shí)際中我們不僅僅希望歸納出影響學(xué)生成績的因子，而且希望知道每一個(gè)學(xué)生對這兩種能力作出什么評價(jià)，或者說他在這兩個(gè)公共因子上應(yīng)打多少分。在因子模型中也可以反過來將公共因子表示為變量的線性組合，建立公因子 F 對變量 Z 的回歸方程： （ ） 令 則 B 是需要估計(jì)的回歸系數(shù)，但是 Fj 是不可觀測的。 第二類不確定性指標(biāo)給出可供選擇的因子得分之間的最小相關(guān)系數(shù) r*， r* = 2r21。 Rfs 的非對角線元素稱為單一性，用于測量被估計(jì)的因子得分與其他因子的相關(guān)程度。 EViews自動(dòng)在 Observables編輯框中填入用于計(jì)算的原始變量的名字，需要選擇標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)采用估計(jì)得到的矩還是原觀測值的矩（均值）。默認(rèn)的， EViews采用精確系數(shù)估計(jì)得分。一般來說，希望這些矩陣是相似的。 （ 1）不確定性指標(biāo)（ Indeterminacy Indices） 度量不確定性的指標(biāo)可以分為截然不同的兩類。如果 var(?i) = ?i 對于 i = 1, 2, …, p 不全相等，巴特萊特（ Bartlett， 1937）建議采用加權(quán)最小二乘法。 iF~ ijl~指標(biāo)名稱 F1載荷 li1 F2載荷 li2 F3載荷 li3 F4載荷 li4 CPI 居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù) (CPI) 成本 因素 原材料、燃料、動(dòng)力購進(jìn)價(jià)格指數(shù) 工業(yè)品出廠價(jià)格指數(shù) 農(nóng)副產(chǎn)品類購進(jìn)價(jià)格指數(shù) 商品房銷售價(jià)格指數(shù) 工業(yè)企業(yè)成本費(fèi)用利潤率 需求 因素 全部從業(yè)人員人均報(bào)酬增速 城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入增速 貨幣 因素 外匯儲備同比增速 貨幣乘數(shù) M2增速 GDP增長率 國際 因素 G7工業(yè)品出廠價(jià)格指數(shù) G7支出法 GDP同比增速 股價(jià)指數(shù) 上證收盤綜合指數(shù)同比增速 表 影響物價(jià)波動(dòng)多因素的因子分析旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果 從表 表的意義更明確：代表成本因素的各上游價(jià)格指數(shù)和 G7_ PPI的變化在公因子 F1上有較高的載荷，可稱 F1為成本因子，同時(shí)也表明我國價(jià)格的變化，尤其是原材料類價(jià)格的變化和國際 PPI的變化有較高的相關(guān)性；而代表居民需求增長的兩個(gè)收入變量在公因子 F3上有最高的載荷，可稱 F3為需求因子；而表示包括 GDP增長率在內(nèi)的貨幣因素在公因子 F2上的載荷都是最大的，可稱 F2為貨幣因子；而代表財(cái)富變化的股票指數(shù)和表示國際經(jīng)濟(jì)形勢的 G7_GDP指數(shù)同比增速在公因子 F4上載荷最大，稱為財(cái)富因子和國際經(jīng)濟(jì)因子。 設(shè)置完畢單擊 OK即可。 82 因子旋轉(zhuǎn)的操作 為了使得因子具有實(shí)際的意義，可以對初始回歸的結(jié)果進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)。因子的旋轉(zhuǎn)方法有正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)。同時(shí)，通過表 ：代表成本因素的各上游價(jià)格指數(shù)在公因子 F1上有較高的載荷，可稱為成本因子；而代表居民需求增長的兩個(gè)收入變量在公因子F3上有較高的載荷，可稱為需求因子；而表示貨幣因素的 3個(gè)變量在公因子 F2上有較高的載荷，可稱為貨幣因子；而代表財(cái)富變化的股票指數(shù)在公因子 F4上有較高的載荷，稱為財(cái)富因子。 例 影響我國物價(jià)波動(dòng)多因素的因子分析（ 1） 隨著我國市場化程度的深化以及經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程的加快，我國物價(jià)的波動(dòng)不僅反映了國內(nèi)市場中總供給和總需求的矛盾，而且受國際經(jīng)濟(jì)的影響，尤其是國際市場價(jià)格的影響也越來越大。 71 (8) 用戶設(shè)定矩陣 如果在 Type下拉菜單中選擇 Usermatrix，對話框?qū)?huì)發(fā)生改變。 (4) 樣本（ Sample） 該項(xiàng)主要用于設(shè)定用于分析的觀測值的樣本，同時(shí)表明是否希望樣本是均衡的。 66 (4) 估計(jì)選項(xiàng)（ Opition） 估計(jì)屬性主要包括對迭代控制、 scaling、隨機(jī)數(shù)生成器以及 Heywood情況的選擇和設(shè)置。選擇不同的方法，在右邊的屬性部分將會(huì)顯示不同的設(shè)置。連續(xù) 100周的觀測值表現(xiàn)出獨(dú)立同分布，但是各股之間的回報(bào)率受總體經(jīng)濟(jì)狀況的影響，也存在相關(guān)關(guān)系。 ΨLLΣ ???:0H58 在原假設(shè)成立的條件下可以構(gòu)造下面的似然比統(tǒng)計(jì)量 （ ） 其中 Sn 表示協(xié)方差矩陣的極大似然估計(jì)； ，其中 和 分別表示 L 和 ? 的極大似然估計(jì)量，而 是 的極大似然估計(jì)量。 55 (2) 總方差比例 （ Fraction of Total Variance） 選擇公因子個(gè)數(shù) m使得前 m個(gè)特征值的和超過公因子總方差的某一門限值。 iii r/1* ??1??R iiii rh /111? *2 ???? ?ijjii rh ?? max? 253 （ 3） 對角線比例方法 （ fraction of diagonals） 該方法使用相關(guān)矩陣（或協(xié)方差矩陣）對角線元素的固定比例 ?。 YAZ ????????????????????????pmmppppmmmmYYYZYYYZYYYZ????????????????221122222112211221111149 為了使 Yi 符合式（ ）假設(shè)的公共因子，需要將主成分 Yi 的方差轉(zhuǎn)變?yōu)?1。 ?i 稱為特殊方差，或者剩余方差。在實(shí)際研究和應(yīng)用中，為了消除觀察值之間由于量綱的差異而造成的影響，需