隨機(jī)過程及應(yīng)用：預(yù)備知識(shí)：特征函數(shù)-文庫吧在線文庫
【正文】 ??? ???.0,]2π,2π[,π1)(其它xxfY的特征函數(shù)為 )()()( c o s XjtjtYY eEeEt ????? ?? ? 2π2π2π 0c o sc o s 2π1 dxedxe xjtxjt?令 dxuxdxduxu 21s i n,co s ??????? ?? 10 21 12)( duuet tujY ??特征函數(shù) 根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的惟一性定理 , 知隨機(jī)變量 Y的概率密度為 ?????????.0.1。0,11π2)(2其它yyyf Y 已知隨機(jī)變量 X的特征函數(shù)為 Rttt ?? ,c o s)(φ 2試求 X的概率分布 . 特征函數(shù) 解 因 根據(jù)特征函數(shù)的惟一性定理 , 知隨機(jī)變量 X的分布律為 22 )2(c o s)(jtjt eett?????jtjt ee 22412141 ????}2{}0{}2{ 202 ??????? ? XPeXPeXPe jtjtjt X ?2 0 2 p 1/4 1/2 1/4 特征函數(shù) 四． 多維隨機(jī)變量的特征函數(shù) 定義 5. 4 二維隨機(jī)變量 (X, Y)的特征函數(shù)定義為 ]e[),(φ )(21 21 YtXtjEtt ??? ???? ??? ?? ),()( 21 yxdFe ytxtj連續(xù)型 ? ?? ????????? d x d yyxfett ytxtj ),(),(φ 2121注 多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義見 P247. 特征函數(shù) ? ? ??r ssrytxtj pett r,)(21s21),(φ離散型 例 (X, Y)服從二維正態(tài)分布 ]2[21)( 2222212121212211 ttttttje ??????? ?????)。,)( ????????xxexfx?? 指數(shù)分布 特征函數(shù) 均勻分布 ],[ aaU ?Rtatatt ?? ,s i n)(φ 正態(tài)分布 N(a,σ2) Rttttjae ??? ,2221)(φσ特別對(duì)正態(tài)分布 N(0,1)，有 Rttte ??? ,221)(φ特征函數(shù) dxeetaxtxj 22)( 221)( ?????????????axu ??dueeuuajt 2)(221 ??????? ??dueejautja????????? 2)(21 22221 ????證明 Rxexfax????,21)(22)( 2σσπRtttjae??? ,221 2?特征函數(shù) 二．特征函數(shù)性質(zhì) 性質(zhì) 隨機(jī)變量 X的特征函數(shù)滿足： 。,。)()(φ dxxfet jtx.)(φ ??kkjtx pet k當(dāng) X是離散型隨機(jī)變量 ,則
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